Teorema de Tales e proporções geométricas

A razão de divisão de um segmento torna-se mais poderosa quando tratamos de razão orientada, que evita ambiguidades e funciona até quando o ponto é externo. Fixado um sistema de coordenadas sobre a reta $AB$, com abscissas $a$ e $b$, definimos para um ponto $P$ de abscissa $x$ a razão orientada $r=\dfrac{x-a}{b-x}$; o sinal de $r$ indica se $P$ é externo (negativo) ou interno (positivo), e o valor absoluto coincide com a razão não orientada $\frac{AP}{PB}$. A vantagem é que a fórmula $x=\dfrac{a+r\,b}{1+r}$ resolve o problema de localizar $P$ sem precisar separar casos, desde que $r\neq -1$ e $r\neq 0$. Por exemplo, tomando $a=0$ e $b=6$: se $P$ é interno e $r=2$, então $x=\frac{0+2\cdot 6}{3}=4$, de modo que $AP=4$ e $PB=2$, confirmando $r=2$; se $P$ é externo além de $B$ e queremos razão não orientada $\frac{AP}{PB}=3$, então $r=-3$ (pois $P$ está à direita e o sinal é negativo), dando $x=\frac{0+(-3)\cdot 6}{1-3}=\frac{-18}{-2}=9$, com $AP=9$, $PB=3$ e razão orientada $-3$, agora coerente.

O Teorema de Tales é, na essência, uma afirmação sobre a linearidade da projeção entre retas: se duas retas transversais são cortadas por um feixe de retas paralelas, a razão entre os segmentos determinados numa transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra, e essa razão é o fator de escala da projeção oblíqua. Disso decorre a recíproca, tão cobrada quanto o teorema direto: se $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$ para pontos alinhados em duas retas que se intersectam em $O$, então as retas $AA'$, $BB'$ e $CC'$ são paralelas — argumento poderoso para provar paralelismo sem recorrer a ângulos. No triângulo, a consequência mais explorada é a semelhança: uma reta paralela a um lado cria um triângulo menor semelhante ao original com razão $k$ entre lados correspondentes, e áreas na razão $k^2$.

Exemplo concreto: no triângulo $ABC$ com $AB=18$ e $AC=24$, tomamos $D$ em $AB$ com $AD=12$ e traçamos por $D$ a paralela a $BC$, intersectando $AC$ em $E$. Então $\frac{AD}{AB}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$, logo $\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$, donde $AE=16$ e $EC=8$.

Dominar Tales, portanto, significa enxergar a proporção como relação entre projeções e não como fórmula decorada, garantindo que a geometria da figura guie a álgebra, e não o contrário.

Por trás da fórmula está a ideia de que a bissetriz iguala distâncias a dois lados, e disso decorre a proporção entre os segmentos que ela determina no lado oposto. A demonstração clássica usa áreas: os triângulos ABP e ACP, com vértice comum em A e bases BP e PC sobre a mesma reta, têm alturas iguais, logo suas áreas estão entre si como BP está para PC; mas, tomando como bases AB e AC, suas alturas são exatamente as distâncias de P aos lados, iguais justamente porque P está na bissetriz — igualando as duas razões, chega-se a BP/PC = AB/AC. A recíproca também vale e é muito útil: se um ponto do lado BC o divide na razão dos lados adjacentes, então ele pertence à bissetriz interna, o que permite provar que uma ceviana é bissetriz sem medir ângulos.

Para a bissetriz externa, o ponto Q está sobre o prolongamento de BC, fora do segmento — se AB = AC, Q não existe, pois a bissetriz externa fica paralela ao lado oposto. Com AB = 6, AC = 4 e BC = 5, a interna dá BP/PC = 6/4, e como BP + PC = 5, vem BP = 3 e PC = 2; a externa satisfaz BQ/CQ = 6/4, ou seja, BQ = 1,5·CQ, e como C está entre B e Q, vale BQ = BC + CQ, donde 1,5·CQ = 5 + CQ, logo CQ = 10 e BQ = 15, com Q situado além de C. Nos vestibulares, o tema aparece sobretudo em geometria plana combinada com Tales, semelhança e lei dos cossenos, em questões que pedem o perímetro de um triângulo cujos lados se quer descobrir a partir da razão determinada pela bissetriz, ou que exigem reconhecer a bissetriz para montar a proporção; em provas mais difíceis, como ITA e IME, cobra-se a demonstração via áreas ou a recíproca, além de problemas com bissetrizes internas e externas atuando juntas e dividindo o lado em três partes, situação em que os dois pontos assim obtidos formam um par harmônico.