Equações e inequações trigonométricas
Reduza tudo a uma só função e a um só arco, usando a relação fundamental e as transformações. As equações elementares: $\operatorname{sen}x=\operatorname{sen}a\Rightarrow x=a+2k\pi$ ou $x=\pi-a+2k\pi$; $\cos x=\cos a\Rightarrow x=\pm a+2k\pi$; $\operatorname{tg}x=\operatorname{tg}a\Rightarrow x=a+k\pi$. Nas inequações, marque o intervalo no ciclo e só depois escreva a expressão geral — resposta sem o $k$ fica incompleta.
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Por trás das fórmulas prontas está a ideia de que uma equação trigonométrica tem, em geral, infinitas soluções, porque seno e cosseno são periódicos; resolver significa, portanto, descrever todo o conjunto-solução, e não apenas achar um valor. O caminho típico é transformar a equação numa das formas elementares: por exemplo, em $\operatorname{sen}^2x-\operatorname{sen}x=0$ fatoramos $\operatorname{sen}x(\operatorname{sen}x-1)=0$, obtendo $\operatorname{sen}x=0$ ou $\operatorname{sen}x=1$, cujas soluções são $x=k\pi$ e $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$, com $k\in\mathbb{Z}$ — note que o segundo caso já está contido no primeiro, o que mostra a importância de conferir a união dos conjuntos.
Já em $\operatorname{sen}x=\frac{1}{2}$ dentro de $[0,2\pi]$, o ciclo dá $x=\frac{\pi}{6}$ e $x=\frac{5\pi}{6}$, e a expressão geral acrescenta $+2k\pi$ a cada uma. Quando a equação mistura arcos diferentes, usamos identidades como $\cos 2x=1-2\operatorname{sen}^2x$ ou $\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x$ para chegar a um único arco, técnica decisiva em equações como $\cos 2x+\operatorname{sen}x=0$. Nas inequações, o erro clássico é tentar "resolver como equação": o correto é localizar no ciclo o arco onde a desigualdade vale e traduzir isso em intervalos da forma $a+2k\pi<x<b+2k\pi$, sempre lembrando que, para tangente, o período é $\pi$.
As provas costumam cobrar isso de dois modos: em questões objetivas, pedindo o número de soluções num intervalo fechado (exige controle dos valores de $k$) ou a soma delas; em discursivas (Fuvest, Unicamp, ITA), exigindo a expressão geral completa e, muitas vezes, combinando trigonometria com funções, como determinar o número de raízes de $f(x)=\operatorname{sen}x-x/10$ via análise gráfica. Por fim, lembre que restrições de domínio, como $\operatorname{tg}x$ definida apenas para $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$, e a checagem de soluções estranhas introduzidas por quadrados ou pela tangente são detalhes que decidem pontos na correção, de modo que escrever o conjunto-solução sempre acompanhado do termo $2k\pi$ ou $k\pi$, com $k$ inteiro, é indispensável para que a resposta seja considerada completa.