Posições relativas entre retas

O coeficiente angular $m$ de uma reta mede sua inclinação em relação ao eixo $x$: dados dois pontos distintos $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$, temos $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, valor que também equivale à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo horizontal. Quando escrevemos a equação na forma reduzida $y=mx+n$, o coeficiente $n$ indica onde a reta corta o eixo $y$, de modo que duas retas com mesmo $m$ são paralelas (mesma inclinação) e só serão coincidentes se também tiverem o mesmo $n$. Para o perpendicularismo, vale a relação $m_1\cdot m_2=-1$, que traduz o fato de os ângulos de inclinação $\alpha$ e $\beta$ diferirem de $90^\circ$: como $\beta=\alpha+90^\circ$, então $\tan\beta=-\cot\alpha=-\frac{1}{\tan\alpha}$.

Para enxergar além da mera comparação de coeficientes, pense geometricamente: cada equação $ax+by+c=0$ descreve uma reta cujo vetor normal é $\vec{n}=(a,b)$, perpendicular à reta, e cujo coeficiente angular é $m=-\frac{a}{b}$ (quando $b\neq0$). Assim, duas retas são paralelas quando seus vetores normais são múltiplos um do outro — ou seja, quando $\vec{n_1}=\lambda\vec{n_2}$ —, o que equivale àquela proporção entre $a$ e $b$. Se, além disso, os termos independentes também respeitarem a mesma proporção $c_1=\lambda c_2$, a segunda equação é apenas a primeira multiplicada por $\lambda$, e as retas coincidem; se a proporção falhar só no $c$, elas são paralelas distintas, mantendo a mesma direção sem nunca se tocar.

O caso perpendicular merece atenção: as retas são perpendiculares quando $a_1a_2+b_1b_2=0$, isto é, quando o produto escalar dos vetores normais se anula — um atalho que evita calcular os coeficientes angulares. Como exemplo concreto, tome $r:2x-3y+6=0$ e $s:4x-6y-10=0$. As razões são $\frac{2}{4}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$, mas $\frac{6}{-10}\neq\frac{1}{2}$; logo $r$ e $s$ são paralelas distintas, com normais $(2,-3)$ e $(4,-6)$ claramente múltiplas. Já $t:x+2y-1=0$ cruza $r$, pois $(2)(1)+(-3)(2)=-4\neq0$; na verdade, sendo o produto escalar não nulo, garantimos que há um único ponto de interseção, obtido resolvendo o sistema $2x-3y=-6$ e $x+2y=1$.

Os casos particulares das posições relativas entre retas merecem atenção porque neles as fórmulas gerais degeneram e o aluno precisa raciocinar geometricamente, sobretudo quando o coeficiente angular não existe ou é nulo. A reta vertical, $x=k$, tem inclinação de $90^\circ$ e coeficiente angular indefinido, de modo que não pode ser escrita como $y=mx+n$; por isso, ao comparar duas retas, o primeiro passo é verificar se alguma é vertical. Se ambas forem verticais, são paralelas quando $k_1\neq k_2$ e coincidentes quando $k_1=k_2$; se apenas uma for vertical, ela será concorrente de qualquer reta não vertical, pois a interseção ocorre em $x=k$ com o $y$ correspondente.

Já a reta horizontal, $y=k$, tem $m=0$ e é paralela a outra horizontal de altura diferente.

Outro caso clássico é a reta que passa pela origem, $y=mx$, cuja principal propriedade é não possuir termo independente, o que simplifica muito a resolução de sistemas e o cálculo de áreas de triângulos formados com os eixos. As bissetrizes $y=x$ e $y=-x$ aparecem com frequência em problemas de lugares geométricos, pois todo ponto delas equidista dos eixos coordenados. Como exemplo, sejam $r: x=3$ e $s: y=2x-1$; substituindo $x=3$, obtém-se $y=5$, logo a interseção é o ponto $(3,5)$, resultado impossível de achar isolando $y$ em $r$.