Equação e inequação modulares

A equação modular vai além da definição algébrica: ela representa a distância entre números na reta real, pois $|x-a|$ mede quão longe $x$ está de $a$. Assim, $|x-3|=5$ não significa apenas “tirar o módulo”, mas encontrar os pontos que distam 5 unidades de 3, ou seja, $x=8$ ou $x=-2$. Essa leitura geométrica evita erros comuns, como aceitar soluções que violam a condição de existência ou esquecer que o módulo nunca é negativo. Em expressões mais elaboradas, como $|2x-1| + |x+2| = 7$, a estratégia é dividir a reta nos pontos onde cada módulo se anula: $x=1/2$ e $x=-2$. No intervalo $x<-2$, ambos os módulos trocam de sinal, gerando $-(2x-1)-(x+2)=7$, cuja raiz $x=-8/3$ é válida por pertencer ao intervalo.

Em $-2\leq x<1/2$, um módulo troca e outro não, resultando em $-(2x-1)+(x+2)=7$, que dá $x=-4$, solução inválida por não estar no intervalo. Por fim, em $x\geq 1/2$, ambos ficam positivos, e $2x-1+x+2=7$ fornece $x=2$, válido. Logo, as soluções são $x=-8/3$ e $x=2$.

Dominar a divisão por intervalos e a validação de cada raiz é, portanto, essencial para não perder pontos em questões discursivas ou de múltipla escolha.

A leitura geométrica é o que dá alma a esse conteúdo: $|x|$ mede a distância de $x$ até a origem, então $|x|\lt k$ pergunta "quem está a menos de $k$ da origem?" — daí o intervalo único e contínuo $-k\lt x\lt k$; já $|x|\gt k$ pergunta "quem está a mais de $k$ da origem?", o que naturalmente exclui a faixa central e gera os dois raios externos. Esse raciocínio em "estar perto" versus "estar longe" evita a decoreba e sobrevive a questões com expressões complicadas. É fundamental, porém, tratar o caso $k\le 0$, que o resumo silencia: se $k=0$, $|x|\lt 0$ é impossível (conjunto vazio), enquanto $|x|\gt 0$ vale para todo $x\ne 0$; se $k\lt 0$, $|x|\lt k$ continua impossível, mas $|x|\gt k$ é verdadeiro para todo real $x$, pois o módulo nunca é negativo — e trocar esses resultados é erro clássico.

Quando o módulo não está isolado, como em $|2x-5|\le 7$, resolvemos pela regra do intervalo: $-7\le 2x-5\le 7$, somando $5$ e dividindo por $2$, chega-se a $-1\le x\le 6$; com $|2x-5|\gt 7$, caímos na união $x\lt -1$ ou $x\gt 6$.