Propriedades das matrizes

A associatividade da multiplicação de matrizes é uma propriedade estrutural que garante que, ao multiplicar três ou mais matrizes em cadeia, o resultado independe de como agrupamos os fatores, desde que a ordem entre eles jamais seja alterada — pois o produto matricial não é comutativo. Para enxergar por que isso vale, tome uma matriz $A$ de ordem $m\times p$, $B$ de ordem $p\times q$ e $C$ de ordem $q\times n$; o elemento na posição $(i,j)$ de $(AB)C$ é $\sum_{k=1}^{q}\left(\sum_{l=1}^{p}a_{il}b_{lk}\right)c_{kj}$, e a propriedade distributiva dos números reais permite reescrever essa soma dupla como $\sum_{l=1}^{p}a_{il}\left(\sum_{k=1}^{q}b_{lk}c_{kj}\right)$, que é exatamente o elemento $(i,j)$ de $A(BC)$.

A não comutatividade da multiplicação de matrizes é mais do que uma curiosidade algébrica: ela nasce da própria definição do produto, em que o elemento na linha $i$ e coluna $j$ de $AB$ é a soma dos produtos dos elementos da linha $i$ de $A$ pelos correspondentes da coluna $j$ de $B$. Como esse processo mistura linhas de uma matriz com colunas da outra, trocar a ordem muda completamente o emparelhamento dos fatores e, portanto, o resultado. Para que $AB$ e $BA$ existam simultaneamente, $A$ deve ser do tipo $m\times n$ e $B$ do tipo $n\times m$, de modo que $AB$ é $m\times m$ e $BA$ é $n\times n$; se $m\neq n$, os produtos nem sequer têm a mesma ordem, o que já inviabiliza a igualdade.

Mesmo quando $m=n$, ou seja, quando $AB$ e $BA$ são quadradas de mesma ordem, a igualdade $AB=BA$ é exceção, não regra.

Há ainda consequências mais finas: a fatoração $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ só vale se $A$ e $B$ comutarem, e a igualdade $AB=0$ não implica $A=0$ ou $B=0$, pois o anel das matrizes tem divisores de zero.

Em resumo, a não comutatividade exige que o estudante abandone a intuição dos números reais e trate cada produto com cuidado, verificando sempre a ordem dos fatores e jamais “cancelando” matrizes sem justificativa, pois esse é um dos erros mais penalizados nas provas de exatas.

A matriz identidade $I_n$ atua como elemento neutro multiplicativo no anel das matrizes quadradas de ordem $n$, e a prova de sua unicidade ajuda a entender por que ela costuma ser tratada como objeto algébrico e não apenas como tabela de números: se $E$ é quadrada de ordem $n$ e $EA=AE=A$ para toda $A$ quadrada, tomando $A=I_n$ obtemos $E\,I_n=E$, mas como $I_n$ já é neutro, $E\,I_n=I_n$, logo $E=I_n$. Isso mostra que não há outra matriz com esse comportamento, o que justifica escrever “a” identidade sem ambiguidade — um detalhe que escapa quando apenas se decora que “1 na diagonal e 0 fora” funciona. O mesmo argumento vale para mostrar que $I_n$ comuta com todas as matrizes quadradas, pois $AI_n=I_nA=A$ por definição; essa comutatividade universal é raríssima e é justamente o que torna $I_n$ peça-chave na resolução de equações matriciais, como $A^2-5A+6I=0$: aqui o termo $6I$ é indispensável, já que $6$ sozinho nem é matriz de ordem $n$, e é a presença de $I$ que permite fatorar a expressão como $(A-2I)(A-3I)=0$.

Num exemplo concreto com $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ em $M_2(\mathbb R)$, verifica-se $A^2=\begin{pmatrix}4&5\\0&9\end{pmatrix}$ e $A^2-5A+6I=\begin{pmatrix}4-10+6&5-5+0\\0-0+0&9-15+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$, ou seja, $A$ satisfaz a equação polinomial graças exatamente ao $6I$.

Antes de tudo, entenda o que a inversa significa conceitualmente: assim como na aritmética o inverso de um número $a$ é aquele que multiplicado por ele dá $1$, na álgebra matricial $A^{-1}$ é a única matriz que satisfaz $AA^{-1}=A^{-1}A=I$, ou seja, a multiplicação funciona como uma "operação de desfazer" $A$. Isso só é possível quando $A$ representa uma transformação linear invertível — sem colapsar dimensões —, o que equivale geometricamente a dizer que suas linhas (ou colunas) são linearmente independentes e que $\det A\neq 0$; se $\det A=0$, há dependência linear e nenhuma matriz consegue reverter o processo. Para enxergar isso na prática, tome $A=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 4\end{pmatrix}$: como $\det A=8-3=5$, aplicando o atalho citado obtemos $A^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4 & -1\\ -3 & 2\end{pmatrix}$.

Verifique: multiplicando $A\cdot A^{-1}$, a primeira entrada é $2\cdot\frac{4}{5}+1\cdot(-\frac{3}{5})=1$ e a entrada fora da diagonal é $2\cdot(-\frac{1}{5})+1\cdot\frac{2}{5}=0$, confirmando a identidade $I$. Esse tipo de conferência é rapidíssimo e costuma salvar pontos.

A matriz nula de ordem $m\times n$, denotada por $0_{m\times n}$, é aquela em que todos os elementos valem zero, ou seja, $a_{ij}=0$ para todo $i,j$. Mais do que uma curiosidade, ela é o elemento neutro aditivo do espaço vetorial $M_{m\times n}(\mathbb{R})$: para qualquer $A$ de mesma ordem, $A+0=A$ e $A-A=0$. É também absorvente multiplicativo: se o produto $A\cdot 0$ é compatível, resulta sempre na matriz nula da ordem correspondente, o que decorre de cada entrada ser soma de produtos em que um dos fatores é zero. A sutileza que mais derruba candidatos é a inexistência da lei do anulamento: em matrizes, $A\cdot B=0$ não implica $A=0$ ou $B=0$.

Exemplo clássico: tome $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$; nenhuma é nula, mas $A\cdot B=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$. Isso ocorre porque matrizes podem ser divisores de zero: há direções que $A$ "mata" e $B$ "revive", mas o produto as anula. Consequência prática: em uma equação matricial como $A\cdot X=A\cdot Y$, não se pode cancelar $A$ e concluir $X=Y$ a menos que $A$ seja invertível (nesse caso, $A^{-1}$ existe e o cancelamento é válido). Quando $A$ é singular, pode existir $Z\neq 0$ com $A\cdot Z=0$, e então $X$ e $X+Z$ são ambos soluções distintas.

Dominar esses contraexemplos é o que separa a aplicação mecânica da compreensão estrutural do tema.