Isola-se $x$ como numa equação, com uma regra de ouro: ao multiplicar ou dividir por número negativo, inverte-se o sentido. A resposta é intervalo, não número. Nunca multiplique cruzado sem conhecer o sinal do denominador — passe tudo para um lado e estude o quociente.
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A inequação do 1º grau é toda sentença que pode ser reduzida à forma $ax+b>0$ (ou $<$, $\ge$, $\le$), com $a\neq 0$; quando $a>0$, a solução é $x>-b/a$, e quando $a<0$, $x<-b/a$, o que se enxerga bem no gráfico da reta $y=ax+b$: se ela sobe, fica positiva à direita da raiz $-b/a$; se desce, à esquerda. É fundamental notar que essa forma padrão não engloba inequações com a variável no denominador, como $\dfrac{1}{x-2}\le 3$, que exigem estudo de sinal separado. Veja um exemplo concreto: resolver $3(x-2)<5x+4$. Desenvolvendo, $3x-6<5x+4$; passando os termos com $x$ para a esquerda e os números para a direita, $3x-5x<4+6$, isto é, $-2x<10$. Dividindo por $-2$ (negativo!), inverte-se o sentido: $x>-5$, ou seja, o intervalo $(-5,+\infty)$.
Inequação do 2º grau
Ache as raízes, esboce a parábola e leia onde ela está acima ou abaixo do eixo. Com $a\gt 0$ e $\Delta\gt 0$: positiva fora das raízes, negativa entre elas. Se $\Delta\lt 0$, o sinal é o de $a$ em todo $\mathbb{R}$ — caso de resposta “$\mathbb{R}$” ou “$\varnothing$”.
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A inequação do 2º grau pede o conjunto de valores de $x$ que tornam um trinômio $ax^2+bx+c$ maior, menor, maior ou igual ou menor ou igual a zero, e sua resolução é essencialmente um estudo de sinal: diferente de uma equação, em que buscamos apenas onde o trinômio se anula, aqui queremos regiões inteiras da reta real, o que torna a parábola uma ferramenta indispensável, pois ela traduz visualmente o comportamento do sinal em função da concavidade e das raízes; assim, o discriminante $\Delta=b^2-4ac$ cumpre papel central ao decidir quantos cortes no eixo $x$ existem, e quando $\Delta=0$ a parábola tangencia o eixo em uma raiz dupla, mantendo o sinal de $a$ em ambos os lados, com exceção do próprio ponto de tangência, onde o valor é nulo, de modo que, por exemplo, em $x^2-6x+9\ge 0$ a solução é todo o $\mathbb{R}$, pois a expressão equivale a $(x-3)^2$, nunca negativa, enquanto $x^2-6x+9>0$ exclui apenas $x=3$; outro cuidado frequente é não dividir a inequação por expressões algébricas sem conhecer seu sinal, pois isso pode inverter o sentido da desigualdade, e sim fatorar, estudar cada fator e montar o quadro de sinais, como em $\frac{x^2-4}{x-1}\le 0$, em que se analisam separadamente numerador e denominador; nas provas, o tema aparece com frequência na Fuvest, Unicamp, ITA e ENEM, geralmente combinado com funções, módulos, logaritmos, domínio de raízes ou inequações simultâneas, exigindo do candidato não só calcular raízes, mas interpretar corretamente o conjunto-solução e representá-lo na reta real ou em intervalos, sendo comum a cobrança de questões em que o erro está justamente em esquecer a restrição do denominador, inverter o sinal ao multiplicar por fator negativo ou ignorar que $\Delta<0$ pode levar a resposta trivial, de modo que dominar a parábola e o quadro de sinais é o caminho mais seguro para acertar qualquer variação do tema.
Inequações produto e quociente
Estude o sinal de cada fator e combine no quadro de sinais, multiplicando coluna a coluna. No quociente $\frac{f(x)}{g(x)}$ a regra é a mesma, mas as raízes do denominador ficam sempre excluídas. Fatores de multiplicidade par não trocam o sinal — detalhe que a ITA cobra.
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A ideia central por trás das inequações produto e quociente é que não precisamos resolver a inequação "de uma vez": como o sinal de um produto depende apenas do sinal de cada fator, basta descobrir onde cada fator é positivo, negativo ou nulo e depois combinar esses resultados. Em vez de trabalhar com números isolados, trabalhamos com intervalos, e é aí que mora a diferença conceitual em relação a uma equação — enquanto na equação buscamos pontos que zeram a expressão, na inequação buscamos regiões do domínio onde o sinal resultante satisfaz a desigualdade. O procedimento prático é: encontrar todas as raízes de cada fator, marcá-las na reta real em ordem crescente, e essas raízes dividem a reta em intervalos abertos nos quais nenhum fator troca de sinal.
Escolhendo um valor-teste em cada intervalo (ou raciocinando pelo expoente de cada raiz), determinamos o sinal de cada fator e, pelo produto dos sinais, o sinal do quociente ou produto completo. Um cuidado importante: quando um fator aparece elevado a expoente par, ele não muda de sinal ao cruzar sua raiz, e se for expoente ímpar ele muda — por isso, ao construir o quadro de sinais, é mais eficiente analisar cada raiz pela sua multiplicidade do que testar intervalo por intervalo. Vejamos um exemplo: resolver $\frac{(x-1)^2(x+3)}{x-2} \le 0$. As raízes são $x=1$ (multiplicidade par), $x=-3$ (ímpar) e $x=2$ (ímpar, no denominador). Como $(x-1)^2 \ge 0$ sempre, ele nunca muda o sinal e só se anula em $x=1$; logo a expressão tem o sinal de $\frac{x+3}{x-2}$ em todos os outros pontos.
Estudando esse quociente, ele é negativo entre $-3$ e $2$ e positivo fora. Como queremos $\le 0$ e $x=2$ está excluído (denominador), a solução é $[-3, 1] \cup [1, 2)$, ou seja, $[-3, 2)$, incluindo $x=1$ porque o fator nulo zera o numerador e satisfaz a desigualdade.
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Inequação do 2º grau — estudo do sinal
Região onde x² − x − 2 > 0: fora das raízes −1 e 2 (faixa verde). Entre as raízes a função é negativa.