Para grau $n$: $\sum x_{i}=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}}$, $\sum_{i\lt j}x_{i}x_{j}=\frac{a_{n-2}}{a_{n}}$, e assim por diante, com sinais alternando até $x_{1}\cdots x_{n}=(-1)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}}$. Combinadas com uma informação extra (“as raízes estão em PA”), determinam tudo sem resolver a equação.
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As Relações de Girard são, na essência, uma ponte entre a álgebra dos coeficientes e a geometria das raízes: elas nos dizem que, num polinômio mônico de grau $n$, os coeficientes nada mais são do que as funções simétricas elementares das raízes, com sinais alternados. Vale entender por que isso funciona: ao escrever $P(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$ e expandir, cada coeficiente surge de escolher um termo de cada fator, e é justamente essa contagem combinatória que produz as somas simétricas. Por isso, o sinal de cada relação depende do grau da soma: soma das raízes com sinal negativo, soma dos produtos dois a dois positivo, e assim por diante, até o produto final com sinal $(-1)^n$.
O ganho prático é enorme: em vez de atacar uma equação de grau alto por métodos algébricos pesados, usamos apenas contagem e informação extra.
Teorema das raízes complexas
Em polinômio de coeficientes reais, as raízes complexas vêm aos pares conjugados: se $a+bi$ é raiz, $a-bi$ também, com a mesma multiplicidade. Logo todo polinômio real de grau ímpar tem ao menos uma raiz real. Vale o análogo para raízes da forma $a+\sqrt{b}$ com coeficientes racionais.
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O Teorema das Raízes Complexas Conjugadas se sustenta na estrutura algébrica dos polinômios com coeficientes reais: como a conjugação complexa preserva soma e produto, ao aplicar o conjugado em $p(z)=a_nz^n+\dots+a_0$ obtemos $p(\bar z)=\overline{p(z)}$, pois cada coeficiente $a_k$ é real e satisfaz $\overline{a_k}=a_k$. Assim, se $p(z)=0$, então $p(\bar z)=\overline{0}=0$. Exemplo concreto: em $p(x)=x^3-2x^2+9x-18$, note que $x=2$ é raiz real; fatorando por Briot-Ruffini, resta $x^2+9$, cujas raízes são $3i$ e $-3i$, par conjugado, confirmando o teorema e ilustrando que um polinômio real de grau 3 tem exatamente uma raiz real e duas complexas conjugadas.
Esse resultado se generaliza: se $a+bi$ é raiz de multiplicidade $m$, então $a-bi$ também tem multiplicidade $m$, pois o fator irredutível em $\mathbb{R}[x]$ é $(x-a)^2+b^2$, elevado à potência $m$ na fatoração completa. Isso implica que todo polinômio real de grau ímpar possui número ímpar de raízes reais contadas com multiplicidade, logo ao menos uma real — fato explorado em questões que pedem o número de raízes reais sem exibir o polinômio.
Por fim, em problemas que fornecem raízes complexas não reais em quantidade par e pedem o número total de raízes reais, basta subtrair do grau o número de raízes complexas contadas com multiplicidade, lembrando que raízes complexas reais (isto é, reais) não formam pares conjugados distintos, mas sim coincidem com seu próprio conjugado.