F2 · Aulas 15–16

Razões e proporções

Comparação de números

Duas formas de comparar duas grandezas: por diferença (quanto a mais) ou por quociente (quantas vezes). Escolher a errada muda a resposta — “aumentou 20 unidades” não é “aumentou 20%”. Todo problema de porcentagem e escala nasce da comparação por quociente.

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A comparação por quociente, base das razões e proporções, exige definir com clareza o referencial — o denominador —, pois é ele que dá sentido à variação: dizer que uma ação subiu de R$ 20 para R$ 25 revela alta de 25% se o referencial for o valor inicial (5/20), mas de apenas 20% se for o final (5/25), e é por isso que provas como Fuvest e Unicamp costumam embutir a inversão do referencial na própria pergunta, cobrando do candidato a identificação do “em relação a quê”. O mesmo cuidado vale para a leitura inversa: se A é 25% maior que B, então B é 20% menor que A, e não 25% — erro clássico explorado em questões de inflação, reajustes salariais e descontos sucessivos, em que aumentos e reduções se acumulam multiplicativamente (um aumento de 10% seguido de outro de 20% gera fator 1,1 · 1,2 = 1,32, ou seja, 32% no total, e não 30%).

No ENEM, a comparação aparece em gráficos com escalas enganosas: uma barra que dobra de altura pode representar apenas 30% de crescimento se o eixo não partir do zero, e a alternativa correta geralmente é a que lê a razão, não a impressão visual. Já o ITA prefere o rigor formal, pedindo a demonstração de que a média geométrica entre dois números está para eles assim como o menor está para a média, ou explorando a proporção áurea como razão constante entre segmentos. Outro viés recorrente é o da taxa percentual incidente sobre bases diferentes — ao somar percentuais de grupos distintos (por exemplo, 10% de homens e 30% de mulheres), a taxa global não é a média aritmética simples, e sim a ponderada pelo tamanho de cada grupo, ponto que derruba muitos candidatos em questões de mistura e concentração.

Dominar esse referencial é, portanto, o que separa o cálculo mecânico da compreensão real da grandeza comparada.

Comparação por subtração

$a-b$ mede a diferença absoluta, na unidade da grandeza. Serve para variações lineares e para o desvio em estatística. Não permite comparar contextos de escalas distintas: 100 reais a mais valem muito ou pouco conforme o total.

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A comparação por subtração consiste em tomar dois números ou duas medidas da mesma grandeza e calcular quanto um excede o outro, obtendo o que se chama de diferença absoluta: se um valor é $a$ e o outro é $b$, o resultado $a-b$ informa quantas unidades de $a$ estão acima de $b$, mantendo a unidade original da grandeza — reais, metros, quilogramas, pontos. Por isso ela é a ferramenta natural sempre que o que importa é o quanto se ganhou ou perdeu em termos concretos, e não a relevância relativa dessa mudança.

Vale notar também uma propriedade estrutural importante: a subtração é sensível à ordem, pois $a-b$ e $b-a$ têm sinais opostos, e é aditiva, no sentido de que diferenças parciais se somam para dar a diferença total — algo que a razão não obedece, já que a soma de razões não é a razão das somas.

Comparação por quociente

$\frac{a}{b}$ é uma razão, adimensional quando as unidades são iguais. Permite comparar escalas diferentes e gera taxa, escala, densidade e velocidade. $\frac{a}{b}=1{,}2$ significa “$a$ é 20% maior que $b$”.

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A comparação por quociente é a mais informativa quando queremos saber não quanto um número supera o outro, mas quantas vezes ele o contém. Enquanto a comparação por diferença depende da escala adotada, o quociente é um número puro, o que permite confrontar grandezas de naturezas distintas. Se a razão $\frac{a}{b}$ é maior que 1, então $a>b$; se é menor que 1, então $a<b$; e se é igual a 1, há igualdade. Mais que isso, o quociente informa a intensidade da desigualdade: $\frac{a}{b}=1{,}2$ significa que $a$ é 20% maior que $b$, mas cuidado, isso não equivale a dizer que $b$ é 20% menor que $a$, pois $\frac{b}{a}=\frac{1}{1{,}2}\approx0{,}833$, ou seja, $b$ é cerca de 16,7% menor.

Essa assimetria é uma das pegadinhas favoritas das bancas. Exemplo concreto: se um carro percorre 240 km em 3 h e outro percorre 300 km em 4 h, as velocidades médias são 80 km/h e 75 km/h; o quociente $\frac{80}{75}\approx1{,}067$ mostra que o primeiro é cerca de 6,7% mais rápido, embora a diferença absoluta seja de apenas 5 km/h.

Razões

Quociente entre duas grandezas, $\frac{a}{b}$ com $b\neq 0$. Quando as unidades diferem, a razão é uma taxa e carrega unidade: km/h, g/cm³, hab/km². Em escala de mapa, $1:50\,000$ significa que 1 cm no papel vale 50 000 cm reais.

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A razão é o instrumento matemático que compara duas grandezas por meio de uma divisão, mas seu significado se aprofunda quando percebemos que ela expressa uma relação de dependência entre os valores: ao escrever $\frac{a}{b}$, estamos dizendo quantas vezes $a$ contém $b$ ou que fração de $b$ o valor $a$ representa, e essa leitura é essencial porque permite comparar situações de escalas diferentes sem precisar conhecer os valores absolutos.

Razão simples

Envolve duas grandezas apenas, $\frac{a}{b}$. É o caso da regra de três simples, da velocidade média e da densidade. Mantenha as unidades coerentes antes de dividir — converter depois é a origem da maioria dos erros.

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A razão simples é, antes de tudo, uma comparação multiplicativa entre duas grandezas da mesma espécie ou de espécies diferentes, expressa pelo quociente $\frac{a}{b}$ com $b \neq 0$; o que a distingue de uma fração comum é justamente o contexto: ela carrega significado, isto é, diz quantas vezes uma quantidade cabe, supera ou está contida em outra, e esse significado só se preserva se as unidades forem tratadas com rigor. Por isso, ao escrever $\frac{a}{b}$, o estudante deve perguntar-se sempre "razão de quê para quê?", pois a ordem dos termos define o sentido — $\frac{\text{distância}}{\text{tempo}}$ é velocidade, mas $\frac{\text{tempo}}{\text{distância}}$ é o inverso da velocidade, e trocar a ordem muda completamente a interpretação.

Vale lembrar que, embora a razão seja um número puro quando as grandezas são homogêneas (dois comprimentos, duas massas), em muitos casos ela assume unidade derivada, como km/h ou g/cm³, e é aí que mora o perigo: misturar metros com centímetros ou horas com minutos antes de dividir produz um resultado numericamente errado, mesmo que a "conta" pareça correta.

Assim, na regra de três simples e direta, multiplica-se em cruz porque se assume proporcionalidade direta; na inversa, a relação entre as grandezas é que uma cresce enquanto a outra decresce, de modo que o produto $a \cdot b$ se conserva, e não o quociente. Esse ponto costuma ser cobrado de forma sutil: o enunciado descreve uma situação do cotidiano (torneiras enchendo tanques, operários construindo muros, máquinas produzindo peças) e exige que o candidato identifique se a proporção é direta ou inversa antes de armar a igualdade.

Em síntese, dominar razão simples é dominar a leitura do enunciado, a escolha da ordem e a coerência das unidades — e é exatamente essa tríade que separa o aluno que apenas "faz a conta" daquele que resolve o problema com segurança.

Razão composta

Produto de razões simples, $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}$, quando a grandeza depende de duas ou mais outras. Fundamenta a regra de três composta: obra que depende de operários, horas e dias. Identifique antes se cada relação é direta ou inversa.

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A razão composta vai além de uma simples multiplicação de frações: ela expressa como uma grandeza resulta da ação simultânea de duas ou mais grandezas, cada uma contribuindo com sua própria razão. Para montá-la, fixamos uma grandeza de interesse e comparamos seu valor em duas situações, medindo quanto cada fator a multiplica ou divide. Se o fator cresce e a grandeza cresce, a relação é direta e entra no numerador; se cresce e a grandeza diminui, é inversa e entra no denominador, invertida. Assim, a razão composta entre as situações 2 e 1 é o produto das razões de cada fator, já com as inversões feitas.

Dominar a razão composta é, portanto, essencial para resolver problemas com múltiplas variáveis de forma segura e rápida.

Proporção

Igualdade entre razões, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, com $a$ e $d$ extremos, $b$ e $c$ meios. Daí a regra fundamental $ad=bc$ — o “produto cruzado”, válido só em igualdade de razões, nunca em desigualdade sem checar sinais.

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Quando escrevemos $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, dizemos que as grandezas $a$ e $b$ são proporcionais a $c$ e $d$; mais que isso, existe um número $k$, chamado constante de proporcionalidade, tal que $a=kc$ e $b=kd$. É essa leitura que explica a regra fundamental: multiplicando ambos os membros por $bd$, obtemos $ad=bc$, ou seja, o produto cruzado é apenas a tradução algébrica da ideia de que as razões guardam a mesma escala. Além disso, a proporção admite manipulações que a Fuvest e a Unicamp costumam explorar em questões de razão e escala, como $a+b$ está para $b$ assim como $c+d$ está para $d$ e a propriedade das somas iguais quando várias razões são iguais, isto é, se $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$, então $\frac{a+c}{b+d}=k$, desde que os denominadores não se anulem, o que é útil em problemas com escalas de mapas e densidades.

Propriedades

Somando: $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$. A mais útil é a proporção derivada $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$, que resolve divisão em partes proporcionais de uma vez, sem montar sistema. Vale também trocar meios ou extremos de lugar.

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Quando escrevemos que quatro números positivos formam a proporção $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, estamos afirmando que as razões entre eles são iguais e que existe uma constante $k$ tal que $a=kb$ e $c=kd$, o que permite reescrever tudo em função de uma única incógnita. A propriedade mais poderosa, já citada, é a soma dos numeradores sobre a soma dos denominadores, mas vale destacar outras duas igualmente cobradas: a diferença, $\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$ (e também $\frac{a-c}{b-d}=k$), e o produto cruzado $ad=bc$, que é a definição operacional de proporção e a origem de quase toda questão de regra de três. A demonstração da propriedade da soma é simples e vale memorizar: partindo de $a=kb$ e $c=kd$, somamos membro a membro para obter $a+c=k(b+d)$ e, dividindo por $b+d$ (não nulo), chegamos a $\frac{a+c}{b+d}=k=\frac{a}{b}$.

Por isso, antes de calcular, identifique se as grandezas crescem juntas ou em sentidos opostos e escreva a proporção com as unidades alinhadas, garantindo que a constante $k$ tenha significado físico coerente com o enunciado.