Conjuntos numéricos
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$. Racional é todo $\frac{p}{q}$, $q\neq 0$ — decimal exata ou dízima periódica; irracional tem decimal infinita não periódica. Vale $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$ com $\mathbb{Q}\cap\mathbb{I}=\varnothing$. Cai: provar que $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$ por absurdo.
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A hierarquia dos conjuntos numéricos não é apenas uma curiosidade teórica: cada ampliação de $\mathbb{N}$ até $\mathbb{C}$ nasce de uma necessidade operatória, isto é, da incapacidade do conjunto anterior de resolver certas equações ou fechar-se sob certas operações. Em $\mathbb{N}$, a subtração $3-5$ não tem solução; ao passar para $\mathbb{Z}$, ela passa a ter, mas $2x=1$ continua sem solução inteira, o que motiva $\mathbb{Q}$; nele, porém, $x^{2}=2$ não tem raiz racional, o que força a construção de $\mathbb{R}$; e em $\mathbb{R}$, a equação $x^{2}+1=0$ segue sem solução, o que exige $\mathbb{C}$. Esse encadeamento é o que costuma ser cobrado em questões conceituais: o aluno deve saber qual operação ou equação justifica cada salto.
Um ponto que merece cuidado é a caracterização dos irracionais: eles têm representação decimal infinita e não periódica, mas isso é consequência, não definição; a definição rigorosa é $\mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Exemplo concreto e muito explorado é o número $\sqrt{2}$: suponha, por absurdo, que $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ com $p,q$ inteiros, $q\neq 0$, e fração irredutível; então $p^{2}=2q^{2}$, logo $p^{2}$ é par, o que implica $p$ par, digamos $p=2k$; substituindo, $4k^{2}=2q^{2}$, ou seja, $q^{2}=2k^{2}$, logo $q$ também é par, contradizendo a hipótese de fração irredutível. Esse argumento é a prova clássica de irracionalidade e aparece com frequência em provas como Fuvest e Unicamp, às vezes disfarçado em questões sobre diagonais de quadrados ou razões geométricas.
Sobre a densidade, vale precisar: entre dois reais distintos $a<b$ sempre existe um racional e também um irracional — mas a condição $a<b$ é essencial, pois se $a=b$ não há nada entre eles; basta tomar, por exemplo, a média $m=\frac{a+b}{2}$, que é racional, e $m+\frac{\sqrt{2}}{n}$ para $n$ suficientemente grande, que é irracional e ainda cai no intervalo. Já a comparação entre $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{I}$ não é de densidade — ambos são densos em $\mathbb{R}$ — e sim de cardinalidade: $\mathbb{Q}$ é enumerável, enquanto $\mathbb{I}$ tem a cardinalidade do contínuo, estritamente maior, de modo que, no sentido da medida, "quase todos" os reais são irracionais, ainda que seja impossível listá-los.