Ângulos complementares
Quem se completa em $90°$ troca de razão: $\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$, $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\operatorname{cotg}x$, $\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\operatorname{cossec}x$. É a origem do prefixo “co”. Vale ainda $\operatorname{tg}x=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}$, $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ e $\operatorname{cossec}x=\frac{1}{\operatorname{sen}x}$.
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A ideia central é que ângulos complementares são dois que somam $90^\circ$ e, num triângulo retângulo, isso significa que os dois ângulos agudos são sempre complementares entre si — e essa é a raiz geométrica da regra. Se um ângulo agudo mede $x$, o outro mede $90^\circ-x$, e ambos enxergam os mesmos dois catetos, mas de papéis trocados: o cateto oposto a $x$ é justamente o adjacente a $90^\circ-x$. Daí o seno de um virar cosseno do outro, a tangente virar cotangente e assim por diante, o que explica o prefixo “co” (de complementar). Esse argumento vale para qualquer $x$ real, não só para ângulos de triângulo, porque as razões trigonométricas são definidas no ciclo trigonométrico: o ponto de $90^\circ-x$ é o reflexo do ponto de $x$ em relação à reta $y=x$, o que troca coordenada horizontal por vertical.