Gráfico de funções polinomiais

Além da leitura direta do termo de maior grau, vale entender o polinômio como soma de parcelas: perto da origem, os termos de menor grau dominam; longe dela, o termo líder assume o controle, e é isso que justifica os “extremos” citados — mas atenção ao sinal do coeficiente líder, pois $x^3$ vai de $-\infty$ a $+\infty$, enquanto $-x^3$ faz o caminho inverso, e o mesmo cuidado vale para grau par: $x^4$ sobe nas duas pontas, $-x^4$ desce nas duas. As raízes organizam o esboço: se $p(x)=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$, a raiz $x=-2$ tem multiplicidade ímpar e o gráfico atravessa o eixo, enquanto $x=1$, de multiplicidade par, apenas tangencia e retorna; fatorando ainda mais, $p(x)=(x-1)^2(x+2)$ mostra que o sinal só troca onde a multiplicidade é ímpar.

As “curvas” entre raízes consecutivas são melhor descritas pelas derivadas: $p'(x)=0$ indica candidatos a máximo ou mínimo local, e o teste da segunda derivada confirma se $p''(x)>0$ (concavidade para cima, mínimo) ou $p''(x)<0$ (concavidade para baixo, máximo); em $p(x)=x^3-3x+2$, $p'(x)=3x^2-3=0$ dá $x=\pm1$, com máximo local em $x=-1$ e mínimo em $x=1$.

O Teorema de Bolzano é, antes de tudo, uma consequência do Teorema do Valor Intermediário aplicado a funções polinomiais, que são contínuas em toda a reta: se $P(a)$ e $P(b)$ têm sinais opostos, o gráfico precisa cruzar o eixo $x$ em algum ponto entre $a$ e $b$, pois não pode "saltar" de um lado para o outro sem passar pelo zero. O que o resumo não explicita é a multiplicidade das raízes, e é aí que mora a sutileza mais cobrada: cada raiz de multiplicidade ímpar faz o gráfico atravessar o eixo trocando de sinal, enquanto raízes de multiplicidade par apenas tangenciam o eixo, mantendo o sinal. Por isso o número de raízes (contadas com multiplicidade) em $]a,b[$ é ímpar quando há troca de sinal e par quando não há.

Exemplo concreto: $P(x)=x^3-2x-5$. Calculando, $P(2)=8-4-5=-1$ e $P(3)=27-6-5=16$; como os sinais são contrários, existe pelo menos uma raiz em $]2,3[$ — de fato, $\sqrt[3]{\ldots}$ aproximadamente $2{,}0946$. Já para $P(x)=(x-1)^2$ temos $P(0)=1$ e $P(2)=1$, sinais iguais, e há uma raiz dupla em $x=1$, dentro do intervalo, confirmando a regra do número par (com multiplicidade).