Desigualdade das médias (MA-MG)
Para $a,b\gt 0$: $\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$. Generaliza para $n$ termos: $\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n}\geq\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}$. Uso típico: maximizar produto com soma fixa, ou minimizar soma com produto fixo — substitui derivada em muitos problemas de otimização de vestibular.
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A desigualdade das médias, também chamada MA-MG, nasce de uma ideia simples: para quaisquer números positivos, a média aritmética nunca é menor que a média geométrica, e a igualdade só ocorre quando todos os termos são iguais. Essa condição de igualdade é o coração do assunto nas provas, porque muitos candidatos decoram a fórmula, mas esquecem que ela só resolve o problema de otimização quando há simetria entre as variáveis. Por exemplo, se $x+y=10$ e queremos o maior valor de $xy$, a desigualdade diz que $\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}$, logo $5\ge\sqrt{xy}$ e $xy\le 25$, com igualdade quando $x=y=5$. Esse tipo de raciocínio evita derivadas e aparece disfarçado em problemas de geometria, como maximizar a área de um retângulo com perímetro fixo, ou em expressões algébricas com termos do tipo $x+\frac{1}{x}$, cujo mínimo é $2$ para $x>0$.
A generalização para $n$ termos é especialmente cobrada quando o enunciado pede o mínimo de uma soma com produto constante, como $x+y+z$ dado $xyz=8$, onde a MA-MG garante soma mínima $6$ em $x=y=z=2$. Nos vestibulares, a banca costuma exigir que você identifique a condição de igualdade e verifique se os números são positivos; quando não são, o argumento falha e o problema pede outra abordagem.
Em resumo, domine a igualdade, teste a simetria e desconfie de valores negativos, pois é exatamente aí que a banca separa quem sabe aplicar a desigualdade de quem apenas a reconhece.