Pirâmides

Toda pirâmide é um caso particular de cone generalizado: basta que a base seja um polígono qualquer e que exista um ponto fora do plano que a contém, unido a cada vértice da base por arestas. Daí surgem elementos que a prova costuma pedir para identificar: o apótema da base (distância do centro ao ponto médio de um lado), o apótema da pirâmide (altura de uma face lateral) e a aresta lateral. Em uma pirâmide regular, esses três segmentos formam triângulos retângulos úteis, e vale a relação fundamental $h^2 + a_b^2 = a_p^2$, em que $h$ é a altura, $a_b$ o apótema da base e $a_p$ o apótema da pirâmide. Outra propriedade importante é a semelhança: ao cortar a pirâmide por um plano paralelo à base, obtém-se uma pirâmide menor semelhante à original, e a razão entre volumes é o cubo da razão de semelhança, enquanto áreas variam com o quadrado.

Isso explica por que, ao seccionar uma pirâmide na metade da altura, o tronco resultante não tem metade do volume, mas $7/8$ do total. Veja um exemplo concreto: uma pirâmide de base quadrada com lado $6\,\text{cm}$ e altura $4\,\text{cm}$. A área da base é $36\,\text{cm}^2$, logo $V = \frac{36 \cdot 4}{3} = 48\,\text{cm}^3$. Se o lado dobrar e a altura permanecer, o volume quadruplica; se ambas as dimensões lineares dobrarem, o volume fica oito vezes maior.

A área total de uma pirâmide nada mais é que a soma das áreas de todas as suas faces: a base mais as faces laterais triangulares, e o segredo para não se perder é enxergar que cada face lateral é um triângulo cuja base é uma aresta da base da pirâmide e cuja altura é o apótema da pirâmide (a altura de cada face, não a altura da pirâmide). Por isso, na pirâmide regular, em que todas as faces laterais são triângulos isósceles congruentes, basta calcular a área de uma face e multiplicar pelo número de lados da base. O ponto que derruba muita gente é justamente distinguir os três segmentos que aparecem nas questões: a altura $h$ da pirâmide (do vértice ao centro da base), o apótema da base $m$ (do centro ao ponto médio de uma aresta) e o apótema da pirâmide $g$ (do vértice ao ponto médio da aresta); esses três formam um triângulo retângulo em que $g$ é a hipotenusa e vale $g^{2}=h^{2}+m^{2}$.

Veja um exemplo: pirâmide de base quadrada com lado $6$, altura $4$ e apótema da base $3$, logo $g^{2}=4^{2}+3^{2}=25$, $g=5$; cada face tem área $\frac{6\cdot5}{2}=15$, a lateral vale $4\cdot15=60$ e, como a base mede $36$, a área total é $96$.