$\det(AB)=\det A\cdot\det B$, para matrizes quadradas de mesma ordem. Consequências diretas: $\det(A^{n})=(\det A)^{n}$ e $\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}$. Permite decidir se um produto é inversível sem calcular o produto — economia enorme de conta.
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O Teorema de Binet é a ponte que liga a álgebra linear à aritmética dos escalares, e sua força aparece quando você percebe que o determinante transforma a multiplicação de matrizes numa simples multiplicação de números, mas apenas para matrizes quadradas de mesma ordem, condição indispensável para que o produto exista e tenha determinante. Vale destacar que a recíproca é falsa: saber $\det(AB)=\det A\cdot\det B$ não garante que $A$ e $B$ comutem nem que exista alguma relação entre $\det(A+B)$ e os determinantes individuais, já que o determinante não é linear na soma de matrizes.
Dominar Binet, portanto, economiza contas e resolve questões que, sem ele, exigiriam expandir produtos enormes.
Teorema de Jacobi
Somar a uma fila um múltiplo de outra não altera o determinante. É o que autoriza criar zeros antes de aplicar Laplace, e a base do escalonamento. Compare com as outras propriedades: trocar duas filas inverte o sinal; multiplicar uma fila por $k$ multiplica o determinante por $k$.
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O Teorema de Jacobi costuma ser enunciado assim: se a uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada somamos um múltiplo escalar de outra fila paralela, o determinante permanece invariante. A justificativa fina vem da multilinearidade do determinante em cada fila: escrevendo a fila modificada como soma da fila original com um múltiplo da outra, o determinante se decompõe em duas parcelas; a primeira é o determinante original, e a segunda contém duas filas proporcionais (a fila alterada e aquela usada no múltiplo), logo é nula. É exatamente esse anulamento que garante a conservação.
Vale lembrar a restrição: só somamos múltiplo de outra fila paralela, nunca de uma fila não paralela, pois isso mudaria o determinante; além disso, o teorema exige que a matriz seja quadrada, já que determinante só se define nesse caso.
Dominar Jacobi, portanto, é dominar a ferramenta que transforma uma conta pesada em uma sequência de zeros controlados, sem alterar o valor final do determinante procurado.