Distância entre ponto e reta e ângulo entre retas

A fórmula do ângulo agudo entre duas retas nasce da diferença entre as inclinações: como cada reta faz um ângulo $\alpha_i$ com o eixo $x$, sendo $m_i=\operatorname{tg}\alpha_i$, o ângulo $\theta$ entre elas é $|\alpha_1-\alpha_2|$, e a tangente dessa diferença, pela fórmula da tangente de arcos, dá exatamente $\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$; só que essa expressão devolve a tangente do ângulo orientado, que pode ser obtuso, e o módulo no numerador corrige o sinal. Vale a pena notar um detalhe importante: o coeficiente $m_2$ pode ser escrito como $m_2 = \operatorname{tg}\theta_2$ mesmo quando $\theta_2 > 90°$, pois a tangente é negativa nesse intervalo, e a fórmula continua funcionando algebricamente sem que precisemos nos preocupar com a orientação dos ângulos.

Como exemplo, tome $r_1\!:\ y=2x+1$ e $r_2\!:\ y=-\frac{1}{3}x+4$; temos $m_1=2$, $m_2=-\frac{1}{3}$, logo $\operatorname{tg}\theta=\left|\frac{2-(-1/3)}{1+2\cdot(-1/3)}\right|=\frac{7/3}{1/3}=7$, donde $\theta\approx81,87°$ — confirmando numericamente que a fórmula produz um ângulo agudo. Já para $r_1\!:\ y=x$ e $r_2\!:\ y=-x+3$, temos $1+m_1m_2=1+1\cdot(-1)=0$, caso em que as retas são perpendiculares e $\theta=90°$.

A fórmula da distância entre ponto e reta nasce de uma ideia geométrica simples: a menor distância de um ponto $P(x_0,y_0)$ a uma reta $r$ é sempre medida ao longo da perpendicular a $r$ que passa por $P$. Se a reta tem direção dada por um vetor $\vec{v}=(b,-a)$ na forma geral $ax+by+c=0$, o vetor normal é $\vec{n}=(a,b)$, e a distância nada mais é que o módulo da projeção do vetor $\overrightarrow{QP}$ sobre $\vec{n}$, sendo $Q$ um ponto qualquer de $r$. Daí surge a expressão do resumo. Vale entender por que o numerador usa a equação igualada a zero: se $P$ pertence à reta, o numerador se anula e a distância é zero, o que confirma a coerência.

Como exemplo concreto, tome a reta $3x+4y-10=0$ e o ponto $P(5,2)$. Substituindo: $3\cdot5+4\cdot2-10=15+8-10=13$, e o denominador é $\sqrt{3^2+4^2}=5$, logo $d=13/5=2{,}6$.

A ideia central é que retas paralelas mantêm entre si uma separação constante, de modo que a distância procurada é simplesmente a menor distância possível entre um ponto qualquer de uma delas e a outra reta, o que remete diretamente ao conceito de projeção ortogonal: tome um ponto $P$ de $r$ e calcule a distância até $s$ usando $\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, expressão que nada mais é do que o comprimento da projeção do vetor que liga $P$ a um ponto arbitrário de $s$ sobre a direção normal a $s$. Como as retas são paralelas, os vetores normais são paralelos, o que garante que esse valor independa do ponto escolhido — daí a validade do processo.

Vale reforçar a origem do atalho: escrevendo $r: ax+by+c_1=0$ e $s: ax+by+c_2=0$, a diferença $|c_1-c_2|$ mede a separação apenas porque os coeficientes de $x$ e $y$ são idênticos; se uma equação for múltipla da outra, é preciso normalizá-las antes, dividindo cada uma por um fator conveniente, sob pena de obter um valor distorcido. Exemplo concreto: sejam $r: 3x+4y-6=0$ e $s: 6x+8y+9=0$. Normalizando $s$ por $2$, vem $3x+4y+4{,}5=0$; assim $d=\frac{|-6-4{,}5|}{\sqrt{9+16}}=\frac{10{,}5}{5}=2{,}1$.