Função do 2º grau

A equação do 2º grau é a expressão algébrica que representa o zero de uma função quadrática, ou seja, os pontos onde a parábola cruza o eixo x. O discriminante $\Delta$ não serve apenas para calcular raízes: ele informa a natureza delas, pois se $\Delta>0$ há duas raízes reais distintas, se $\Delta=0$ há uma raiz real dupla e se $\Delta<0$ não existem raízes reais. Além disso, as relações de Girard (soma $S=-b/a$ e produto $P=c/a$) permitem resolver questões sem calcular explicitamente as raízes, muito útil quando o problema pede, por exemplo, a soma dos inversos ou a soma dos quadrados das raízes. Considere a equação $2x^{2}-7x+3=0$: calculando $\Delta=49-24=25$, obtemos $x=(7\pm5)/4$, logo $x_1=3$ e $x_2=1/2$.

A discussão de uma equação do 2º grau vai além de calcular o discriminante: trata-se de interpretar o parâmetro e entender como a natureza das raízes muda conforme ele varia.

O ponto central é que, quando a equação vem na forma $ax^2+bx+c=0$, mas com um coeficiente dependente de um parâmetro $m$ — por exemplo, $(m-1)x^2+2mx+4=0$ —, a análise do $\Delta$ não basta por si só: é preciso antes garantir que o coeficiente de $x^2$ não se anule, pois, se $a=0$, a equação deixa de ser do 2º grau e passa a ser do 1º grau, com apenas uma raiz (ou nenhuma, se também $b=0$). Por isso, o roteiro completo é: impor $a\neq 0$, calcular $\Delta=b^2-4ac$ em função do parâmetro e, em seguida, resolver a inequação (ou equação) obtida conforme a condição pedida — duas raízes reais distintas, raiz dupla ou ausência de raízes reais. Veja um exemplo concreto: para quais valores de $m$ a equação $(m-1)x^2+2mx+4=0$ admite duas raízes reais e distintas?

Primeiro, $m\neq 1$. Depois, $\Delta=(2m)^2-4(m-1)\cdot 4=4m^2-16m+16=4(m^2-4m+4)=4(m-2)^2$. Como esse quadrado é sempre maior ou igual a zero, só haverá duas raízes distintas quando $(m-2)^2>0$, isto é, $m\neq 2$. Logo, a resposta é $m\neq 1$ e $m\neq 2$; se $m=2$, o $\Delta$ zera e a equação tem raiz dupla, e se $m=1$, ela sequer é do 2º grau.

As relações de Girard não são uma fórmula solta: elas nascem da própria fatoração do trinômio. Se $a\neq 0$ e $x_1,x_2$ são as raízes de $ax^{2}+bx+c=0$, então $ax^{2}+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$. Expandindo o lado direito e comparando coeficientes, obtemos $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ e $x_1x_2=\frac{c}{a}$, o que justifica também a reconstrução $x^{2}-Sx+P=0$ quando $a=1$. O ganho conceitual é enorme: muitas vezes não interessa quanto valem as raízes, mas como elas se relacionam; daí saem simetrias como $x_1^{2}+x_2^{2}=S^{2}-2P$, $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}$ e $(x_1-x_2)^{2}=S^{2}-4P$, que mede o afastamento entre elas. Além disso, a análise de sinais vira uma leitura imediata: $P<0$ indica raízes de sinais contrários; $P>0$ com $S>0$, ambas positivas; $P>0$ com $S<0$, ambas negativas.

Vejamos um exemplo concreto: na equação $x^{2}-2kx+4=0$, temos $S=2k$ e $P=4$. Como $P>0$, as raízes nunca terão sinais opostos; se $k>0$, ambas são positivas, e se $k<0$, ambas negativas. O discriminante é $\Delta=4k^{2}-16$, então para haver raízes reais e distintas precisamos de $k>2$ ou $k<-2$; com $k=2$ ou $k=-2$, há raiz dupla, e entre $-2$ e $2$, não há raízes reais.

A função quadrática admite três formas equivalentes, e dominar a conversão entre elas é o que realmente separa quem decora fórmula de quem resolve questão: a forma geral $f(x)=ax^2+bx+c$, a forma canônica $f(x)=a(x-x_V)^2+y_V$, obtida completando o quadrado, e a forma fatorada $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$, válida quando $\Delta\ge 0$. A canônica revela de imediato que a parábola é a translação horizontal e vertical da curva $y=ax^2$; já o coeficiente $a$ controla a concavidade (para cima se $a>0$, para baixo se $a<0$) e também a abertura da parábola, conceito que convém formalizar: quanto maior o módulo de $a$, mais “fechada” é a curva, pois pontos afastados do vértice sobem (ou descem) mais rápido; para $|a|$ pequeno, a parábola é “aberta”, achatada.

O discriminante $\Delta=b^2-4ac$ governa as raízes — duas reais e distintas se $\Delta>0$, uma dupla se $\Delta=0$, nenhuma real se $\Delta<0$ — e, junto com o sinal de $a$, define o estudo de sinal: entre as raízes o sinal é oposto ao de $a$, fora delas é o mesmo. Exemplo concreto: $f(x)=x^2-6x+5$. Aqui $a=1>0$, vértice em $x_V=3$ e $y_V=-4$, raízes $r_1=1$ e $r_2=5$; a forma canônica é $f(x)=(x-3)^2-4$. Note a simetria: $f(2)=f(4)=-3$, confirmando $f(x_V-t)=f(x_V+t)$. Na prática, comparecem questões que pedem o vértice (máximo de lucro, altura máxima de projétil), a parábola que passa por três pontos, desigualdades do tipo $ax^2+bx+c>0$ e problemas de otimização em que o vértice é o ponto-chave.

A imagem de uma função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ é o conjunto de todos os valores que $f(x)$ pode assumir quando $x$ percorre o domínio, e entendê-la vai além de decorar as fórmulas do vértice: trata-se de perceber que a parábola tem um ponto de virada que separa o crescimento do decrescimento e que, por isso, funciona como uma barreira natural para os valores de saída. Quando $a\gt 0$, a concavidade é voltada para cima, o vértice é um ponto de mínimo e a função "desce até o vértice e depois sobe", de modo que nenhum valor abaixo da ordenada do vértice é atingido; já quando $a\lt 0$, ocorre o oposto, e a parábola atinge um máximo, jamais ultrapassando esse teto.

Em ambos os casos, o eixo de simetria garante que, para cada valor acima (ou abaixo) do extremo, existam dois pontos simétricos do domínio gerando aquela mesma imagem — é justamente essa duplicidade que faz a imagem ser um intervalo semiaberto e não um conjunto discreto.

Vale lembrar ainda que, se o domínio for restrito a um intervalo, o extremo global pode migrar para uma das extremidades, exigindo a comparação entre o valor do vértice e os valores de $f$ nos extremos antes de concluir qualquer coisa sobre a imagem.

A forma fatorada é, antes de tudo, uma tradução algébrica de uma ideia geométrica simples e poderosa: as raízes de uma função quadrática são exatamente os pontos em que o gráfico (parábola) corta o eixo x, então fatorar nada mais é do que reescrever o trinômio como um produto de fatores de primeiro grau, cada um associado a um desses cortes; o coeficiente $a$ funciona como um fator de escala que “abre” ou “fecha” a concavidade sem deslocar as raízes, o que explica por que duas parábolas com mesmas raízes mas coeficientes diferentes são versões esticadas uma da outra. Quando $\Delta>0$, temos $x_{1}\neq x_{2}$ e dois fatores distintos; quando $\Delta=0$, as duas raízes coincidem e a parábola apenas tangencia o eixo x, o que corresponde ao quadrado perfeito $a(x-x_{1})^{2}$; quando $\Delta<0$, não há raízes reais e não existe fatoração em reais, reforçando que a forma fatorada depende intrinsecamente da existência dessas raízes.

Dominar a forma fatorada, portanto, economiza tempo e conecta álgebra, gráfico e desigualdades, sendo uma ferramenta indispensável para quem encara a segunda fase.