Define cada termo a partir dos anteriores mais um termo inicial: $a_{1}=2$, $a_{n+1}=a_{n}+3$. É como PA e PG nascem. Fibonacci, $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$, é o exemplo que a Unicamp explora. Boa para calcular poucos termos, ruim para achar o milésimo.
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A forma recursiva é a maneira mais intuitiva de descrever uma sequência: em vez de entregar uma fórmula fechada que salta direto para o termo de posição $n$, ela diz como construir cada termo a partir dos que vieram antes, sempre ancorada em condições iniciais.
Em resumo, dominar a forma recursiva é dominar a tradução entre regra de formação e expressão explícita, habilidade que separa quem apenas calcula termos de quem realmente compreende a estrutura de uma sequência.
Forma iterativa
Dá o termo diretamente em função de $n$: $a_{n}=3n-1$. Também chamada fórmula fechada ou termo geral. Converter a recursiva em iterativa é o objetivo — em PA e PG isso já está feito. Permite calcular $a_{100}$ sem passar pelos 99 anteriores.
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A forma iterativa é o resultado final de uma investigação sobre o comportamento de uma sequência: enquanto a forma recursiva define cada termo a partir de um ou mais termos anteriores, a forma iterativa expressa o termo geral $a_n$ como uma função explícita apenas de $n$, permitindo calcular qualquer termo de forma direta e independente. O caminho para obtê-la costuma ser a iteração da relação de recorrência: escrevem-se os primeiros termos em função de $a_1$, percebe-se o padrão e generaliza-se. Por exemplo, dada a recorrência $b_1 = 2$ e $b_{n+1} = b_n + 4$, iterando obtemos $b_2 = 2 + 4$, $b_3 = 2 + 8$, $b_4 = 2 + 12$, donde $b_n = 2 + 4(n-1) = 4n - 2$, uma forma iterativa que confirma tratar-se de uma PA de razão 4.
Outro caso clássico é $c_1 = 3$ e $c_{n+1} = 2c_n$, cuja iteração dá $c_n = 3 \cdot 2^{n-1}$, uma PG de razão 2. Observe que a forma iterativa não é apenas uma conveniência algébrica: ela revela a estrutura global da sequência, permite calcular limites, somas e comparações assintóticas, e é indispensável quando a recorrência envolve operações não triviais, como $d_{n+1} = 2d_n + 1$, cuja forma iterativa $d_n = 2^n d_1 + (2^n - 1)$ exige o método de somar as contribuições iteradas.
Dominar essa conversão é, portanto, essencial para resolver questões que exigem tanto cálculo direto quanto demonstração rigorosa.
Soma dos termos de uma sequência finita
$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}$. Duas técnicas fecham quase tudo: emparelhar extremos (ideia de Gauss, que gera a soma da PA) e telescopar, quando $a_{i}=b_{i+1}-b_{i}$ e tudo se cancela. Vale ter na memória $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.
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A soma de uma sequência finita vai além da fórmula pronta: o que se cobra é a engenharia algébrica para reescrever $S_n$ numa forma fechada. A chave é identificar a estrutura dos termos antes de calcular. Quando os termos formam uma progressão aritmética, o emparelhamento de extremos funciona porque a soma de pares equidistantes é constante: $a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\cdots$, gerando $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ — e daí decorre também $S_n=\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, obtida por telescopamento via diferenças cúbicas, técnica clássica em provas do ITA. Já a soma telescópica é a ferramenta mais versátil: escrevendo $a_i=b_{i+1}-b_i$, todos os termos internos se cancelam e sobra $S_n=b_{n+1}-b_1$.
Outro caso recorrente é a soma dos $n$ primeiros ímpares, $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$, que também se telescopa ou se emparelha; atenção: para $n$ ímpar, o emparelhamento clássico dos extremos deixa um termo central, então convém contar os termos corretamente ou deslocar os pares — erro comum que derruba candidatos.
Dominar essas duas técnicas — emparelhar e telescopar — resolve a maioria esmagadora das questões, mas o diferencial está em detectar qual delas usar antes de partir para contas.