Função modular

A definição de módulo vai além do simples “tirar o sinal”: ela transforma qualquer número real em sua magnitude, o que exige entender o comportamento da função em toda a reta. Pense na função modular $f(x)=|x|$ como uma regra que devolve o próprio $x$ quando ele já é positivo ou nulo, mas devolve seu oposto $-x$ quando $x$ é negativo — por isso o gráfico tem o formato de “V” com vértice na origem, eixo de simetria no eixo $y$ e imagem $[0,+\infty[$. Essa simetria revela que $|x|=|-x|$ para todo $x$, propriedade útil para simplificar expressões e resolver equações como $|2x-3|=5$: sem conta algébrica pesada, basta lembrar que o número $2x-3$ está a distância $5$ da origem, logo $2x-3=5$ ou $2x-3=-5$, obtendo $x=4$ ou $x=-1$.

As propriedades do módulo que você listou ganham força quando encaradas como ferramentas para resolver equações e inequações modulares, e aí mora o pulo do gato: a propriedade $|x|^{2}=x^{2}$ permite eliminar o módulo elevando ambos os lados ao quadrado, técnica que resolve rapidamente $|2x-3|=|x+5|$, pois $(2x-3)^{2}=(x+5)^{2}$ leva a $3x^{2}-22x-16=0$, cujas raízes $x=8$ e $x=-\frac{2}{3}$ satisfazem a igualdade original — cuidado, porém, com inequações, pois ao quadrado o sentido se preserva apenas quando ambos os lados são não negativos, o que é sempre o caso dos módulos. Já a desigualdade triangular admite uma versão reversa, $|x+y|\geq \big||x|-|y|\big|$, com igualdade quando $x$ e $y$ têm sinais opostos (ou um deles é zero); essa forma aparece disfarçada em questões que pedem o valor mínimo de $|x-a|+|x-b|$, problema clássico de distância na reta em que a soma é mínima para $x$ entre $a$ e $b$, valendo $|a-b|$.

A ideia central por trás de $g(x)=|f(x)|$ é que o módulo age como um “filtro de sinal” aplicado à saída da função: onde $f(x)\ge 0$, nada muda e $g(x)=f(x)$; onde $f(x)<0$, troca-se o sinal, o que geometricamente equivale a espelhar aquele trecho em relação ao eixo $x$. Por isso, todo ponto de $f$ com ordenada negativa vira um ponto de mesma abscissa e ordenada oposta em $g$. Vale destacar casos especiais: se $f$ tem um zero duplo ou uma tangência ao eixo $x$, o ponto correspondente em $g$ é um ponto de mínimo com derivada nula, sem “bico”; já quando $f$ cruza o eixo com inclinação não nula, surge o bico clássico, pois as inclinações laterais de $g$ são opostas.

Tomemos o exemplo concreto $f(x)=x^2-1$, cujo gráfico é uma parábola com raízes em $x=-1$ e $x=1$ e vértice em $(0,-1)$. Ao calcular $g(x)=|x^2-1|$, a parte negativa (entre $-1$ e $1$) é rebatida para cima, produzindo um “W” suave: fora desse intervalo permanece a parábola original; dentro dele aparece a parábola $1-x^2$, com ápice em $(0,1)$. Nos pontos $(-1,0)$ e $(1,0)$, onde as duas parábolas se encontram com inclinações opostas, formam-se bicos.

Quando escrevemos $g(x)=f(|x|)$, a função composta passa a "ler" o gráfico de $f$ de um jeito peculiar: como $|x|$ nunca é negativo, o valor de entrada que chega em $f$ é sempre o mesmo para $x$ e para $-x$, ou seja, $g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x)$, o que garante que $g$ seja sempre par, com simetria em relação ao eixo $y$. Na prática, isso significa que o ramo direito do gráfico de $g$ (para $x\geq 0$) coincide exatamente com o gráfico de $f$ nesse mesmo intervalo, pois aí $|x|=x$; já o ramo esquerdo é obtido por reflexão especular desse trecho em torno do eixo vertical, de modo que todo ponto $(a,\,f(a))$ com $a\gt 0$ gera também o ponto espelhado $(-a,\,f(a))$.

Vale notar que isso é bem diferente de $y=|f(x)|$, que rebate para cima apenas as partes negativas do gráfico original, mantendo o eixo horizontal como referência; aqui, ao contrário, o espelhamento é vertical, em torno do eixo $y$, e afeta todo o ramo $x\lt 0$.