Princípio fundamental da contagem
Se uma decisão tem $m$ possibilidades e a seguinte tem $n$, o total é $m\cdot n$. “E” multiplica; “ou” (casos exclusivos) soma. Estratégia: comece pela escolha mais restrita — o algarismo que não pode ser zero, a posição fixa — e conte por casos quando a restrição muda o número de opções. Quando for mais fácil, use o complementar.
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O princípio fundamental da contagem é, antes de uma fórmula, uma forma de organizar o raciocínio: toda situação de contagem pode ser decomposta em etapas sucessivas, e o número total de resultados é o produto das escolhas de cada etapa, desde que a quantidade de opções em cada passo não dependa das escolhas anteriores. Essa condição de independência é o ponto conceitual mais fino e o que mais derruba candidatos: quando a restrição de uma etapa altera o número de possibilidades da seguinte, é preciso dividir em casos ou recorrer ao complementar. Exemplo concreto: quantos números de quatro algarismos distintos e maiores que 5000 podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 5, 6, 7 e 8?
Começamos pela escolha mais restrita, o algarismo dos milhares, que deve ser maior ou igual a 5, ou seja, 5, 6, 7 ou 8 — quatro opções. Fixado esse dígito, restam seis algarismos para a centena, cinco para a dezena e quatro para a unidade, sem repetição: 4·6·5·4 = 480 números.