Integrais

A primitiva de uma função $f$ é toda função $F$ cuja derivada reproduz $f$, e é justamente essa definição que revela o coração do Cálculo: integrar é reverter a diferenciação, mas com uma diferença crucial em relação à derivada — a operação não devolve uma única função, e sim uma família inteira delas, já que somar qualquer constante a $F$ não altera sua derivada. Por isso a integral indefinida carrega o $+C$ na resposta, e esquecê-lo é o erro mais clássico em provas objetivas da Fuvest e da Unicamp, pois elas costumam oferecer alternativas que diferem apenas pela presença ou ausência dessa constante.

O Teorema Fundamental do Cálculo costuma ser apresentado em duas partes que se completam: a primeira afirma que se $f$ é contínua em $[a,b]$ e definimos $G(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$, então $G'(x)=f(x)$ para todo $x$ em $(a,b)$ — ou seja, derivar uma integral com limite superior variável devolve o integrando, mostrando que a acumulação e a taxa de variação são operações inversas; a segunda parte, mais usada nas provas, garante que se $F$ é qualquer primitiva de $f$ em $[a,b]$, então $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$, permitindo calcular integrais definidas sem recorrer a somas de Riemann. Vale destacar que a continuidade de $f$ é a hipótese que sustenta esse resultado, e que trocar $x$ por uma função $u(x)$ exige a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{u(x)}f(t)\,dt=f(u(x))\cdot u'(x)$, uma variação muito explorada em questões de derivada.