Polígonos

Todo polígono convexo pode ser entendido como a interseção de semiplanos determinados pelas retas que contêm seus lados, o que garante duas propriedades fundamentais: cada ângulo interno é menor que $180°$ e qualquer diagonal — segmento que une dois vértices não consecutivos — permanece inteiramente contida na região delimitada pelo polígono; repare que essa garantia vale para as diagonais propriamente ditas, não para os lados, que são as arestas da fronteira. Essa convexidade tem consequências práticas: ao traçar todas as diagonais a partir de um único vértice, o polígono se decompõe em exatamente $n-2$ triângulos, o que justifica a fórmula da soma dos ângulos internos, pois cada triângulo contribui com $180°$.

Além disso, em um polígono convexo, a soma de um ângulo interno com seu externo adjacente é sempre $180°$, e a soma dos externos, tomando um por vértice, resulta em $360°$; combinando essas relações, obtém-se $S_i + S_e = n \cdot 180°$, o que confirma $S_i=(n-2)180°$.

Os polígonos regulares vão muito além da definição de lados e ângulos iguais: eles são figuras altamente simétricas, e essa simetria é a chave para entender suas propriedades. Todo polígono regular de $n$ lados possui $n$ eixos de simetria — retas que passam pelo centro e por um vértice ou pelo ponto médio de um lado — e simetria rotacional de $360°/n$, o que garante que ele coincida consigo mesmo após girar esse ângulo em torno do centro. Dessa simetria decorre um fato poderoso: o centro é equidistante de todos os vértices, donde se conclui que ele sempre pode ser inscrito e circunscrito por circunferências concêntricas cujos raios se relacionam com o lado e o apótema por triângulos retângulos notáveis.

Por exemplo, no hexágono regular, o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado, pois o triângulo formado por dois raios e um lado é equilátero (ângulo central de $60°$); já o apótema vale $\frac{l\sqrt{3}}{2}$. Isso permite calcular área como $A = \frac{P \cdot a}{2}$, onde $P$ é o perímetro e $a$ o apótema, fórmula que funciona para qualquer polígono regular e é muito cobrada em vestibulares.