Teorema fundamental da Álgebra
Todo polinômio de grau $n\geq 1$ tem ao menos uma raiz complexa; por decomposição, exatamente $n$ raízes em $\mathbb{C}$, contadas com multiplicidade. Assim $P(x)=a_{n}(x-x_{1})\cdots(x-x_{n})$. Multiplicidade é quantas vezes o fator se repete — e conta para o total.
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O Teorema Fundamental da Álgebra é, antes de tudo, um teorema de existência: ele garante que o corpo dos complexos é algebricamente fechado, ou seja, nenhum polinômio de grau $n\geq 1$ com coeficientes complexos escapa de ter raízes em $\mathbb{C}$. Isso é o que torna $\mathbb{C}$ especial: em $\mathbb{R}$, $x^2+1$ não tem raiz, mas em $\mathbb{C}$ tem duas. A demonstração foge do escopo do ensino médio (envolve análise complexa ou topologia), mas as consequências são cobradas o tempo todo. A primeira é a decomposição única $P(x)=a_n(x-x_1)\cdots(x-x_n)$: dois polinômios que coincidem em infinitos pontos são idênticos, então essa fatoração é a "impressão digital" de $P$.
A segunda são as relações de Girard: para $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$, vale $x_1+\cdots+x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$, $x_1x_2+\cdots=-\frac{a_{n-2}}{a_n}$, e o produto $x_1\cdots x_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}$. Essas fórmulas conectam coeficientes e raízes sem resolvê-las — ouro puro em provas. Um detalhe sutil: se os coeficientes são reais, raízes complexas aparecem em pares conjugados $a\pm bi$, com a mesma multiplicidade; logo, um polinômio real de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real (argumento clássico de Fuvest e da 2ª fase da Unicamp). Sobre multiplicidade: se $(x-r)^m$ divide $P$ mas $(x-r)^{m+1}$ não, dizemos que $r$ tem multiplicidade $m$; equivalentemente, $P(r)=P'(r)=\cdots=P^{(m-1)}(r)=0$ e $P^{(m)}(r)\neq 0$.
Exemplo concreto: $P(x)=(x-2)^3(x+1)$. Grau 4, raízes $2$ (multiplicidade 3) e $-1$ (multiplicidade 1), total $3+1=4=n$.
Dominar esse teorema é dominar a ponte entre álgebra, gráficos e contagem de raízes.