Área do círculo e de suas partes e área dos polígonos regulares

Área dos polígonos regulares

$A=p\cdot m$, com $p$ o semiperímetro e $m$ o apótema — o polígono se decompõe em $n$ triângulos de base $\ell$ e altura $m$. Equivalentemente, $A=\frac{n R^{2}\operatorname{sen}\frac{360°}{n}}{2}$. Quando $n\to\infty$, essa área tende a $\pi R^{2}$: o polígono vira círculo.

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A chave para dominar polígonos regulares é enxergá-los como um feixe de triângulos isósceles congruentes que saem do centro e se apoiam em cada lado: são exatamente $n$ triângulos de base $\ell$ e altura igual ao apótema $a$, de modo que $A=\frac{n\cdot \ell\cdot a}{2}=p\cdot a$, com $p$ o semiperímetro. O apótema, que é o raio da circunferência inscrita, liga-se ao lado por $a=\frac{\ell}{2}\cot\frac{180°}{n}$, e o raio $R$ da circunferência circunscrita satisfaz $\ell=2R\operatorname{sen}\frac{180°}{n}$ e $a=R\cos\frac{180°}{n}$ — relações que permitem trocar $\ell$ por $R$ conforme o dado do problema.

Atenção

Note que o resumo usa $\frac{360°}{n}$, o ângulo central, mas o argumento do seno é a metade dele, $\frac{180°}{n}$: essa é a versão que aparece na fórmula correta $A=\frac{nR^{2}}{2}\operatorname{sen}\frac{360°}{n}$. Vale a pena também memorizar os casos clássicos, que a Fuvest e a Unicamp adoram: quadrado ($A=\ell^{2}=\frac{d^{2}}{2}$, com $a=\frac{\ell}{2}$ e $R=\frac{\ell\sqrt{2}}{2}$), triângulo equilátero ($A=\frac{\ell^{2}\sqrt{3}}{4}$, com $a=\frac{\ell\sqrt{3}}{6}$ e $R=\frac{\ell\sqrt{3}}{3}$) e hexágono regular ($A=\frac{3\ell^{2}\sqrt{3}}{2}$, com $a=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}$ e $R=\ell$). Exemplo: um hexágono regular de lado $4$ cm tem semiperímetro $p=12$ cm e apótema $a=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$, logo $A=12\cdot2\sqrt{3}=24\sqrt{3}\approx41{,}6$ cm², resultado que você pode conferir pela fórmula com $R=4$.

Área do círculo e de suas partes e área dos polígonos regulares

Área dos polígonos regulares

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Setor circular e área do círculo