Números e algarismos

Na divisão euclidiana, ao dividir um inteiro $D$ por um divisor positivo $d$, existem quociente $q$ e resto $r$ inteiros tais que $D=d\cdot q+r$, com $0\leq r<d$; essa restrição não é detalhe técnico, é o que garante a unicidade do par ordenado $(q,r)$, e é por isso que dizemos que o resto está bem definido. Observe que $q$ pode ser negativo, mas $r$ nunca é: dividir $-17$ por $5$ dá $q=-4$ e $r=3$, pois $-17=5\cdot(-4)+3$, e não $q=-3$ com $r=-2$. Essa escolha do quociente por falta (e não por excesso) é o que sustenta toda a teoria dos restos e explica por que, na linguagem cotidiana, dizemos que $-17$ dividido por $5$ "dá $-4$ e deixa resto $3$".

A ideia central das cifras numéricas é que cada algarismo vale não por si, mas pela posição que ocupa, o que permite abrir qualquer número em uma soma de potências de dez. Em um numeral de três dígitos, por exemplo, escrever $N=100a+10b+c$ deixa explícito que $a$ é a centena, $b$ a dezena e $c$ a unidade, todos inteiros entre $0$ e $9$, com $a\neq 0$. Esse desmembramento é o que viabiliza equacionar problemas típicos de "trocar a ordem dos algarismos": se o número $N=\overline{abc}$ tem seus dígitos invertidos, o novo número é $M=\overline{cba}=100c+10b+a$, e a diferença $N-M=99(a-c)$ revela de imediato que a variação depende só da diferença entre o primeiro e o último algarismo.

Tomemos um caso concreto: um número de dois dígitos, $\overline{ab}$, cuja soma dos algarismos é $9$ e que, ao inverter a ordem, aumenta em $27$. Traduzindo, temos $a+b=9$ e $(10b+a)-(10a+b)=27$, isto é, $9(b-a)=27$, donde $b-a=3$. Resolvendo o sistema, $b=6$ e $a=3$, logo o número é $36$ — e, de fato, $63-36=27$.