Relação de Euler: $V-A+F=2$. Contagem das arestas pelas faces: $2A=\sum(\text{lados de cada face})$, pois cada aresta pertence a duas faces. A soma dos ângulos das faces é $S=(V-2)\cdot 360°$. Euler vale para todo poliedro convexo, mas nem todo poliedro que a satisfaz é convexo.
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Os poliedros convexos são sólidos formados por um número finito de faces planas poligonais em que quaisquer dois pontos do sólido podem ser ligados por um segmento inteiramente contido nele — é essa convexidade que garante que as faces se encontrem apenas em arestas e vértices, sem reentrâncias nem "furos". Dessa estrutura rígida nasce a Relação de Euler, e o ponto central para as provas é perceber que ela não é um simples dado numérico isolado, mas uma ferramenta de contagem: conhecendo dois dos três valores $V$, $A$ ou $F$, obtém-se o terceiro; combinando com a contagem dupla das arestas, $2A=\sum n_i f_i$ (em que $f_i$ é o número de faces com $n_i$ lados), resolve-se a maioria dos problemas.
Poliedros regulares
Existem apenas cinco (sólidos de Platão): tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro — faces regulares congruentes e mesmo número de arestas por vértice. Tetraedro de aresta $a$: altura $\frac{a\sqrt{6}}{3}$ e volume $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$.
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A chave para entender por que só existem cinco poliedros regulares é a relação de Euler ($V - A + F = 2$), válida para todo poliedro convexo, combinada com a restrição de que em cada vértice devem convergir no mínimo três faces e a soma dos ângulos internos dessas faces precisa ser menor que $360^\circ$. Se cada face tem $n$ lados e cada vértice recebe $m$ faces, então $nF = 2A$ e $mV = 2A$; substituindo em Euler e isolando, chega-se a $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} > \frac{1}{2}$, desigualdade que só admite os pares $(m,n) = (3,3)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(3,5)$ e $(5,3)$ — exatamente tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Como exemplo concreto, tome o octaedro regular, formado por 8 triângulos equiláteros: nele $F = 8$, $n = 3$, logo $A = 12$; com $m = 4$ faces por vértice, $V = 6$, e de fato $6 - 12 + 8 = 2$.
Além disso, o octaedro é dual do cubo — os centros das faces de um geram os vértices do outro —, propriedade que explica por que cubo e octaedro compartilham o mesmo grupo de simetria e, frequentemente, aparecem juntos em questões. Quanto à dedução do volume do tetraedro citado no resumo, ela vem de decompor o tetraedro em quatro tetraedros menores a partir do baricentro ou de usar o produto misto dos vetores que definem três arestas a partir de um vértice: com aresta $a$, a área da base é $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ e a altura é $\frac{a\sqrt{6}}{3}$, donde $V = \frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.
Veja em 3D
Arraste para girar, role para aproximar. Os controles mudam as medidas.
Poliedros de Platão
Os cinco poliedros regulares. Confira a relação de Euler em cada um: V − A + F = 2.