Sistemas lineares

Toda equação linear descreve um hiperplano: em $\mathbb{R}^2$ uma reta, em $\mathbb{R}^3$ um plano, e em dimensões maiores o análogo abstrato. Resolver um sistema é, portanto, determinar a interseção desses conjuntos, e é justamente aí que mora a classificação: o sistema pode ter solução única (SPD), infinitas soluções (SPI) ou nenhuma (SI), conforme os hiperplanos se cruzem num ponto, coincidam parcialmente ou sejam paralelos.

Nos vestibulares, a cobrança aparece em três frentes típicas: a discussão de sistemas com parâmetro, em que se pede para quais valores do parâmetro o sistema é SPD, SPI ou SI, quase sempre envolvendo determinantes e análise de casos-limite em que o determinante se anula; a interpretação geométrica, em que se relacionam retas e planos com a existência de soluções; e a modelagem de problemas aplicados, como misturas, correntes em circuitos ou balanceamento de reações, que exigem montar e resolver o sistema. Em todas elas, o domínio do escalonamento e a leitura correta do posto da matriz costumam valer mais do que a simples aplicação de fórmulas prontas, então treine bastante a classificação antes de partir para as contas.

A classificação de um sistema linear não se decide "olhando" as equações, mas comparando o posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz ampliada (coeficientes mais a coluna dos termos independentes): se os postos forem diferentes, o sistema é impossível (SI), pois há uma equação que contradiz as demais; se forem iguais e esse valor comum for igual ao número de incógnitas, o sistema é possível e determinado (SPD); se forem iguais, mas menores que o número de incógnitas, é possível e indeterminado (SPI), com grau de liberdade dado pela diferença entre o número de incógnitas e o posto. Vale a leitura geométrica para fixar: em duas incógnitas, cada equação é uma reta — SPD quando as retas se cruzam num único ponto, SPI quando coincidem, SI quando são paralelas distintas; em três incógnitas, cada equação é um plano, e a mesma lógica se repete com planos que se cortam num ponto, numa reta ou não se encontram.

Como exemplo curto, no sistema x + y = 3 e 2x + 2y = 6, a segunda equação é o dobro da primeira: as retas coincidem, o posto comum é 1 e há 2 incógnitas, logo SPI com um grau de liberdade, e as soluções são os pares (3 − t, t). Já em x + y = 3 e x + y = 5, os postos diferem, e o sistema é SI. Quanto à cobrança, as provas raramente pedem só "classifique": elas amarram a classificação a um parâmetro, pedindo os valores de k que tornam o sistema SPD, SPI ou SI, o que exige discutir quando o determinante da matriz dos coeficientes se anula e, nesse caso, analisar separadamente o que ocorre com a matriz ampliada; alternativamente, cobram a relação entre classificação e discussão de soluções, com sistemas homogêneos aparecendo para testar se o aluno percebe que a solução trivial sempre existe e que o caso interessante é decidir entre SPD e SPI.

O escalonamento é a materialização algorítmica da ideia de substituição: em vez de isolar variáveis uma a uma, você opera sobre as linhas da matriz aumentada com três operações elementares — trocar duas linhas de posição, multiplicar uma linha por escalar não nulo e somar a uma linha um múltiplo de outra —, todas reversíveis e, portanto, preservadoras do conjunto-solução. O objetivo é a forma escalonada (ou escada de linhas): o primeiro elemento não nulo de cada linha, o pivô, aparece sempre à direita do pivô da linha anterior, com zeros abaixo dele. Nesse formato, o sistema fica pronto para a retrossubstituição, que resolve de baixo para cima.

Vale distinguir escalonada de escalonada reduzida: nesta última cada pivô vale 1 e é o único não nulo de sua coluna, o que entrega a solução diretamente.