Identificação pelo discriminante
O sinal de $B^{2}-4AC$ classifica a cônica: negativo indica elipse (ou circunferência, se $A=C$ e $B=0$); zero, parábola; positivo, hipérbole. Com $B\neq 0$, a cônica está rotacionada, e uma rotação de eixos elimina o termo misto antes de aplicar o critério — usado quando o enunciado já não centra a figura na origem.
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A identificação pelo discriminante funciona porque a equação geral $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ pode ser lida como a forma matricial $\mathbf{x}^T M \mathbf{x} + \mathbf{x}\cdot\mathbf{d} + F = 0$, em que $M=\begin{pmatrix}A & B/2\\ B/2 & C\end{pmatrix}$, e os termos lineares não alteram a natureza da figura, apenas sua posição. O que realmente governa a cônica são os autovalores de $M$, e o discriminante $B^2-4AC$ é justamente o negativo do determinante de $4M$; assim, seu sinal é o sinal do produto dos autovalores. Produto positivo (discriminante negativo) significa autovalores de mesmo sinal: curvas fechadas, ou seja, elipse. Produto zero (discriminante nulo) significa um autovalor nulo: a curva “abre” ao longo de uma única direção, o caso da parábola.
Produto negativo (discriminante positivo) significa autovalores de sinais opostos: dois ramos, a hipérbole.