Relação fundamental
$\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1$ para todo $x$ — é Pitágoras no ciclo de raio 1. Dividindo por $\cos^{2}x$ ou por $\operatorname{sen}^{2}x$, saem as derivadas: $1+\operatorname{tg}^{2}x=\sec^{2}x$ e $1+\operatorname{cotg}^{2}x=\operatorname{cossec}^{2}x$. Serve para obter uma razão a partir da outra — mas o sinal vem do quadrante, não da fórmula.
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A relação fundamental não é apenas uma fórmula a memorizar, mas a expressão algébrica do teorema de Pitágoras aplicado ao ciclo trigonométrico: se um ponto sobre a circunferência de raio 1 tem coordenadas $(\cos x, \operatorname{sen} x)$, então a distância desse ponto à origem é 1 e, portanto, $\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1$. A partir dela, toda a família de identidades pitagóricas surge por manipulação algébrica — dividir por $\cos^{2}x$ produz $1+\operatorname{tg}^{2}x=\sec^{2}x$, e dividir por $\operatorname{sen}^{2}x$ produz $1+\operatorname{cotg}^{2}x=\operatorname{cossec}^{2}x$ — mas o ponto que separa o aluno mediano do avançado é enxergar que essas equações fornecem apenas o módulo da razão procurada, nunca o sinal.
Como exemplo concreto, suponha que $\operatorname{sen}x = -\frac{3}{5}$ e que $x$ esteja no terceiro quadrante. A relação fundamental dá $\cos^{2}x = 1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, logo $|\cos x|=\frac{4}{5}$; como no terceiro quadrante o cosseno é negativo, conclui-se que $\cos x=-\frac{4}{5}$ e, consequentemente, $\operatorname{tg}x = \frac{-3/5}{-4/5}=\frac{3}{4}$, resultado coerente com o fato de a tangente ser positiva nesse quadrante. Note ainda que a relação permite transitar entre seno e cosseno mesmo quando o arco não é notável, o que a torna ferramenta central na resolução de equações e simplificação de expressões.