Números binomiais

A simetria dos binomiais vai muito além de uma simples conveniência de cálculo: ela revela a estrutura do triângulo de Pascal, que é espelhado em relação ao seu eixo central, e decorre de uma bijeção natural entre os subconjuntos de p elementos e os de n−p elementos de um conjunto com n elementos — a cada subconjunto escolhido corresponde seu complementar. Algebricamente, isso equivale a usar a expressão fatorial $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!\,(n-p)!}$ e notar que trocar p por n−p apenas permuta os dois fatores do denominador, deixando o resultado inalterado, de modo que essa igualdade nada mais é do que a manifestação combinatória de que o complementar do complementar de um conjunto é o próprio conjunto.

A simetria também gera identidades úteis: $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p}+\binom{n-1}{p-1}$ (relação de Stifel) e a interpretação de que a soma de uma linha do triângulo é $2^n$.

O Triângulo de Pascal é, antes de tudo, uma tabela de números binomiais organizada de modo que a linha $n$ lista, em ordem crescente de $p$, os valores $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$; a regra de Stifel, $\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}$, é a razão estrutural pela qual cada termo interno é a soma dos dois diretamente acima dele, e dela decorrem as propriedades que os vestibulares mais exploram: a simetria $\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}$, que faz cada linha ser um palíndromo; a soma da linha, $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$, obtida fazendo $x = 1$ no binômio de Newton; e as diagonais, cujas somas geram os números triangulares e outras sequências.

O coração do Binômio de Newton está no termo geral, a ferramenta que quase toda questão exige: $T_{p+1}=\binom{n}{p}a^{\,n-p}b^{\,p}$, em que $p$ começa em zero e o índice $p+1$ indica a posição do termo no desenvolvimento.

Dominar isso permite atacar problemas que não pedem todo o polinômio, mas um termo específico — por exemplo, em $\left(x^2-\frac{2}{x}\right)^{6}$, querer o coeficiente de $x^3$ significa impor que a soma dos expoentes de $x$ dê 3: o termo geral é $\binom{6}{p}(x^2)^{6-p}\left(-2x^{-1}\right)^{p}=\binom{6}{p}(-2)^{p}x^{12-3p}$; igualando $12-3p=3$, vem $p=3$, e o coeficiente é $\binom{6}{3}(-2)^{3}=20\cdot(-8)=-160$. Note como o sinal negativo dentro do parêntese entra no $(-2)^{p}$, controlando a alternância — por isso $(a-b)^{n}$ alterna sinais, enquanto $(a+b)^{n}$ mantém todos positivos. Outra aplicação clássica é o termo médio: quando $n$ é par, existe um único termo central, de posição $\frac{n}{2}+1$; quando $n$ é ímpar, há dois termos centrais simétricos.

Há ainda a manipulação de somas de coeficientes: fazer $a=b=1$ dá $2^{n}$ (total de subconjuntos), e $a=1,\,b=-1$ dá $0$ para $n\geq1$, revelando que a soma dos binomiais de índice par iguala a dos de índice ímpar, cada uma valendo $2^{n-1}$.

O desenvolvimento de $(a+b)^n$ reúne, ao todo, $n+1$ parcelas, cada uma com a forma $\binom{n}{p}a^{n-p}b^p$, e a razão de os expoentes de $a$ e $b$ somarem sempre $n$ é o próprio mecanismo da distributividade: ao escolher $p$ fatores para contribuir com $b$, os $n-p$ restantes obrigatoriamente contribuem com $a$, de modo que o coeficiente $\binom{n}{p}$ conta exatamente de quantas maneiras essa escolha pode ocorrer entre os $n$ fatores idênticos. Essa simetria explica por que os coeficientes são palindrômicos, isto é, $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$, e por que o termo geral serve como ferramenta central sempre que não precisamos expandir tudo, mas apenas localizar uma parcela específica — algo valiosíssimo quando $n$ é grande.

Considere $(2x^3-\frac{1}{x})^8$ e a busca pelo termo em $x^4$: o termo geral é $T_{p+1}=\binom{8}{p}(2x^3)^{8-p}\left(-\frac{1}{x}\right)^p$, cujo expoente de $x$ vale $3(8-p)-p=24-4p$; igualando a $4$, obtemos $p=5$, e o coeficiente correspondente é $\binom{8}{5}\cdot 2^{3}\cdot(-1)^5=-448$, um valor negativo que muita gente esquece de sinalizar ao ignorar o sinal do binômio interno.