Elipses e hipérboles

A elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, os focos, é constante e igual a $2a$. Dessa definição decorre a relação fundamental $a^2=b^2+c^2$, que conecta os três parâmetros: $a$ (semieixo maior), $b$ (semieixo menor) e $c$ (semidistância focal). Como $a$ é sempre a maior dessas medidas, a excentricidade $e=c/a$ mede o quanto a elipse se afasta da forma circular: quando $e\to 0$, temos $c\to 0$ e $a\approx b$, ou seja, a curva tende a uma circunferência de raio $a$. Já valores próximos de $1$ indicam uma elipse bastante achatada. Na prática, reconhecer onde cada eixo se posiciona é essencial. Se o eixo maior é horizontal, com centro na origem, a equação reduzida é $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, e os focos ficam em $(\pm c, 0)$.

Se o eixo maior é vertical, trocam-se os papéis: $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$, com focos em $(0, \pm c)$ — note que $a$ continua sendo o maior denominador, agora sob $y$. Por exemplo, tome $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$: temos $a=5$, $b=3$ e, como $a^2=b^2+c^2$, vem $25=9+c^2$, logo $c=4$. Os focos são $(\pm 4, 0)$, a excentricidade é $e=4/5=0,8$ e os vértices estão em $(\pm 5, 0)$ e $(0, \pm 3)$. Esse exemplo é típico: as provas raramente pedem a equação “crua” sem cobrar a identificação de $a$, $b$ e $c$, o cálculo de $e$ e a localização dos focos e vértices. Na Fuvest e na Unicamp, aparecem também itens que exigem completar quadrados para obter a forma reduzida — como em $4x^2+9y^2-16x+18y-11=0$, que após agrupar e completar quadrados vira $\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y+1)^2}{4}=1$, revelando centro deslocado em $(2,-1)$, eixos $a=3$ e $b=2$ e focos deslocados —, além de problemas de interseção com retas e de otimização envolvendo a soma $2a$.

A relação $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ nasce de uma construção geométrica elegante: tome o ponto da elipse situado na extremidade do eixo maior, a uma distância $a$ do centro; a soma das distâncias desse ponto aos dois focos é $2a$, e por simetria cada distância vale $a$. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo formado pelo centro, por um foco e pela extremidade do eixo menor, obtemos exatamente $a^{2}=b^{2}+c^{2}$, pois a hipotenusa é o segmento que liga o foco à extremidade do eixo menor e mede $a$. Daí decorre a excentricidade $e=\dfrac{c}{a}$, com $0\le e<1$: quanto mais próximo de 1, mais “achatada” é a elipse, e quanto mais perto de 0, mais ela se aproxima de uma circunferência.

Note ainda que $b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}$, logo $b\le a$ sempre, o que confirma que o eixo maior é horizontal (ou vertical) quando $a>b$. Exemplo concreto: uma elipse de focos $F_1(-3,0)$ e $F_2(3,0)$, portanto $c=3$, e soma das distâncias igual a $10$, ou seja, $2a=10$ e $a=5$. Então $b^{2}=25-9=16$, logo $b=4$, e a equação reduzida é $\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{16}=1$, com excentricidade $e=\dfrac{3}{5}=0{,}6$.

Vale lembrar que, por trás da equação, há a definição geométrica: a elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, os focos, é constante e igual a $2a$; dessa definição nasce a relação fundamental $a^{2}=b^{2}+c^{2}$, em que $c$ é a distância do centro a cada foco, e $a>b>0$ sempre mede o semieixo maior — justamente o que ocupa o maior denominador e define a direção do eixo focal. A excentricidade $e=\frac{c}{a}$, com $0<e<1$, mede o “achatamento”: perto de $0$ a elipse é quase uma circunferência e perto de $1$ ela se alonga, sendo muito cobrada em questões que pedem para identificar a elipse a partir de focos e vértices ou, inversamente, extrair focos e excentricidade da equação.

Na Fuvest e na Unicamp, a elipse raramente vem isolada: ela costuma ser combinada com Geometria Analítica, trigonometria ou até com a definição de lugar geométrico, exigindo do candidato não só decorar a equação, mas interpretar seus parâmetros e reconhecer que a posição do maior denominador determina todo o comportamento da curva, o que faz desse tópico um dos mais recorrentes e versáteis da Geometria Analítica nos vestibulares.

A hipérbole é o conjunto dos pontos cuja diferença das distâncias a dois focos fixos é, em módulo, constante e igual a $2a$; essa definição focal explica por que a curva surge em duas partes separadas, os ramos, abertos ao longo do eixo real. Diferente da elipse, em que a soma é constante, aqui a subtração gera a relação fundamental $c^2=a^2+b^2$, e não $a^2=b^2+c^2$.

Vale notar que $b$ não é distância focal nem semieixo real: ele apenas parametriza a abertura dos ramos e o retângulo auxiliar de lados $2a$ e $2b$, cujas diagonais prolongadas são justamente as assíntotas. A equação reduzida com centro na origem e eixo real horizontal é $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Na hipérbole, a relação $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ não é uma coincidência algébrica: ela nasce diretamente da definição geométrica como lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois focos fixos é constante e igual a $2a$. Se você tomar o vértice da hipérbole, a diferença das distâncias até os dois focos vale exatamente $2a$; já no ponto médio entre os focos, essa mesma diferença se anula, mas a estrutura da curva ancora os parâmetros num triângulo retângulo imaginário de catetos $a$ e $b$ e hipotenusa $c$, o que explica por que aqui $c$ é o maior segmento. O eixo real mede $2a$ e contém os vértices; o eixo imaginário mede $2b$ e é perpendicular ao real, passando pelo centro; a distância focal mede $2c$.

As assíntotas, retas $y=\pm\frac{b}{a}x$ (na hipérbole centrada na origem com eixo real horizontal), dependem justamente dessa razão: quanto maior $b$ em relação a $a$, mais “aberta” a curva. A excentricidade $e=\frac{c}{a}$ é sempre maior que 1 e, como $c^{2}=a^{2}+b^{2}$, vale $e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ — perceba que ela nunca chega a 1, o que distingue a hipérbole da elipse, cuja excentricidade fica entre 0 e 1. Exemplo concreto: se uma hipérbole tem $a=3$ e $b=4$, então $c^{2}=9+16=25$, logo $c=5$, os focos estão em $(\pm5,0)$, os vértices em $(\pm3,0)$ e as assíntotas são $y=\pm\frac{4}{3}x$.

A hipérbole nasce, na definição clássica, como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois focos fixos tem módulo constante igual a $2a$ — repare que é diferença, e não soma como na elipse, e é justamente essa troca que produz dois ramos abertos em vez de uma curva fechada. Daí vem a relação fundamental $c^{2}=a^{2}+b^{2}$, em que $c$ é a distância do centro a cada foco: diferente da elipse, aqui $c>a$ sempre, e o número $b$ não é distância focal nenhuma, apenas o parâmetro que, junto com $a$, governa a abertura dos ramos pelas assíntotas $y=\pm\frac{b}{a}x$ (no caso horizontal). Essas retas são o esqueleto da curva: os ramos aproximam-se delas indefinidamente, sem nunca tangenciá-las, pois cruzar uma assíntota exigiria que a curva se fechasse.

Para montar a equação reduzida na prática, o roteiro é sempre o mesmo: identificar o eixo real, achar $a$ pela distância entre os vértices, achar $c$ pela distância entre os focos e obter $b$ por $b^{2}=c^{2}-a^{2}$; se a equação vier na forma geral $Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0$ com $A$ e $B$ de sinais opostos, complete quadrados e normalize até chegar à forma reduzida. Exemplo concreto: focos em $(\pm5,0)$ e vértices em $(\pm3,0)$ dão $a=3$, $c=5$, logo $b^{2}=25-9=16$ e a equação $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$, com assíntotas $y=\pm\frac{4}{3}x$; o ponto $(5,\frac{16}{3})$ satisfaz $\frac{25}{9}-\frac{256}{144}=1$, confirmando que a curva passa exatamente sobre a assíntota apenas no limite, à medida que $x$ cresce.