$f(x)=\log_{a}x$, domínio $\mathbb{R}^{*}_{+}$, imagem $\mathbb{R}$, passa por $(1,0)$ e tem o eixo $y$ como assíntota vertical. Crescente se $a\gt 1$, decrescente se $0\lt a\lt 1$. É a inversa da exponencial: gráficos simétricos em relação a $y=x$.
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A função logarítmica nasce da necessidade de resolver equações em que a incógnita está no expoente: se $a^y=x$, então $y=\log_a x$, e é essa relação que define o logaritmo como expoente a que se deve elevar a base $a$ para obter $x$. Disso decorre uma propriedade estrutural poderosa, a de transformar produtos em somas, quocientes em subtrações e potências em multiplicações — exatamente o que viabiliza desde o cálculo de juros compostos até a medição de terremotos e a intensidade sonora em decibéis.
Inequação logarítmica
Três passos: impor a existência (logaritmando positivo), comparar os logaritmandos e **inverter o sentido se $0\lt a\lt 1$**. A resposta é a interseção com o domínio — esquecer essa interseção é o erro que mais aparece nas correções de segunda fase.
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A inequação logarítmica é aquela em que a incógnita aparece no logaritmando, na base ou em ambos, e sua resolução exige controle rigoroso das condições de existência e da monotonicidade da função logarítmica. A base $a$ obedece a $a\gt 0$ e $a\neq 1$; quando $a\gt 1$, a função é crescente e a desigualdade entre logaritmos preserva o sentido da desigualdade entre os logaritmandos; quando $0\lt a\lt 1$, ela é decrescente e o sentido se inverte, como você já registrou.
Vale lembrar que só é possível comparar dois logaritmos quando ambos estão na mesma base, o que costuma exigir mudança de base antes da comparação.
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Função logarítmica — y = logₐ x
Inversa da exponencial: domínio x > 0, passa por (1, 0), assíntota vertical em x = 0. Compare com y = aˣ (vermelha).