Regra de Cramer
Para sistema $n\times n$, $x_{i}=\frac{D_{i}}{D}$, com $D$ o determinante dos coeficientes e $D_{i}$ o mesmo com a coluna $i$ trocada pelos termos independentes. Se $D\neq 0$, é SPD. Se $D=0$: todos os $D_{i}$ nulos indicam SPI; algum $D_{i}\neq 0$, sistema impossível.
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A Regra de Cramer resolve sistemas lineares quadrados expressando cada incógnita como quociente de determinantes, mas seu valor real nas provas está em dominar quando e por que ela funciona. O raciocínio por trás é a combinação de duas ideias: a regra de Laplace para expandir determinantes e as propriedades de linearidade do determinante em relação a cada coluna. Ao multiplicar a matriz dos coeficientes pela matriz das incógnitas e igualar ao vetor de termos independentes, percebe-se que o determinante de cada matriz $D_i$ surge naturalmente quando se substitui a coluna $i$ pelos termos independentes, obtendo-se $D\cdot x_i = D_i$. Isso justifica a fórmula e reforça a condição de existência: apenas quando $D\neq 0$ podemos dividir e obter solução única.
Em resumo, domine a fórmula, mas sobretudo interprete o significado de cada determinante para classificar o sistema corretamente.