Trigonometria nos triângulos não retângulos

A desigualdade triangular não é uma fórmula isolada, mas a tradução algébrica de uma ideia geométrica simples: o caminho mais curto entre dois pontos é a linha reta. Se você tenta fechar um triângulo com três segmentos, o maior deles não pode ser tão longo quanto ou mais longo que a soma dos outros dois, pois nesse caso as extremidades nunca se encontram; elas se alinham ou ficam separadas. Da mesma forma, o maior lado não pode ser pequeno demais a ponto de “sobrar” em relação à diferença dos outros dois, pois aí os dois menores não alcançam as extremidades do maior. Essa é a razão de a condição aparecer na forma dupla: cada lado deve ficar estritamente entre a diferença e a soma dos outros dois.

Vale notar que, em um triângulo degenerado, quando um lado é exatamente igual à soma dos outros, os três pontos ficam colineares e a figura não é um triângulo de verdade, por isso as desigualdades são estritas. Outro ponto importante é a relação de ordem entre lados e ângulos: como já dito, ao maior lado opõe-se o maior ângulo, e isso decorre diretamente da lei dos senos, pois $a/\operatorname{sen}A = b/\operatorname{sen}B = c/\operatorname{sen}C = 2R$, em que $R$ é o raio da circunferência circunscrita. Assim, comparar lados equivale a comparar os senos dos ângulos opostos, o que é útil quando a questão mistura desigualdade triangular com classificação de triângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo).

Para fixar, considere o problema clássico: para quais valores inteiros de $x$ existe um triângulo de lados $x$, $x+1$ e $7$? Devemos ter, tomando o maior lado possível, $7 < x + (x+1)$, ou seja, $7 < 2x+1$, logo $x > 3$; e também $x+1 < 7+x$, que é sempre verdadeira para $x>0$; e ainda $x < 7+(x+1)$, também sempre verdadeira. Além disso, precisamos garantir que os lados sejam positivos, o que já ocorre para $x>0$. Portanto, $x > 3$, e como $x$ é inteiro, os valores possíveis são $x=4,5,6,\ldots$; contudo, é preciso testar se para valores muito grandes a condição do maior lado não muda: para $x \ge 7$, o maior lado passa a ser $x$ ou $x+1$, e a desigualdade triangular impõe $x < 7 + (x+1)$, que vale sempre, e $x+1 < 7+x$, também sempre.

Logo, qualquer inteiro $x \ge 4$ forma um triângulo não degenerado, o que mostra que a desigualdade triangular nem sempre limita superiormente os valores.

Quando dois ângulos somam 180°, suas extremidades no ciclo trigonométrico são simétricas em relação ao eixo vertical, o que faz o seno permanecer igual e o cosseno apenas trocar de sinal, e é dessa simetria que nasce o cuidado central com ângulos suplementares em triângulos não retângulos. Como todo triângulo tem no máximo um ângulo obtuso, ao aplicar a lei dos senos para achar um ângulo a partir do seu seno, a função inversa devolve por padrão o valor agudo, mas o dado pode corresponder ao seu suplemento; sem checar a compatibilidade com a soma 180°, corre-se o risco de aceitar um triângulo impossível.

Exemplo concreto: num triângulo em que $a=8$, $b=10$ e $\hat{A}=32°$, a lei dos senos dá $\operatorname{sen}\hat{B}=\dfrac{10\cdot\operatorname{sen}32°}{8}\approx 0{,}662$, e o arco-seno fornece cerca de 41,5°; porém o suplemento, aproximadamente 138,5°, também tem esse seno, e só a soma dos ângulos decide: como $32°+138{,}5°=170{,}5°<180°$, esse triângulo obtusângulo existe, gerando o caso ambíguo (dois triângulos válidos) quando os demais dados não o eliminam.

Os ângulos notáveis formam uma família de valores que se estende muito além do primeiro quadrante, e entendê-los em todo o ciclo é decisivo em triângulos não retângulos, pois a lei dos cossenos e a lei dos senos exigem o seno e o cosseno do próprio ângulo interno, que pode ser obtuso. A chave é reduzir qualquer arco à sua relação com $30°$, $45°$ ou $60°$ usando simetrias: no segundo quadrante, o seno permanece positivo e o cosseno fica negativo, com $\operatorname{sen}(180°-\theta)=\operatorname{sen}\theta$ e $\cos(180°-\theta)=-\cos\theta$; daí vêm $\operatorname{sen}120°=\frac{\sqrt3}{2}$, $\operatorname{sen}135°=\frac{\sqrt2}{2}$, $\operatorname{sen}150°=\frac12$ e os cossenos simétricos negativos.

Isso explica por que, na lei dos cossenos $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat A$, um ângulo obtuso aumenta o lado oposto: o termo $-2bc\cos\hat A$ vira soma positiva. Exemplo concreto: num triângulo com $b=3$, $c=5$ e $\hat A=120°$, temos $a^2=9+25-2\cdot3\cdot5\cdot\left(-\frac12\right)=34+15=49$, logo $a=7$ — note como o lado oposto ao ângulo obtuso ficou maior que qualquer um dos outros dois.

Dominar essas reduções evita decorar tabelas gigantes e permite resolver, com segurança, problemas de geometria plana e de vetores em que os ângulos internos ultrapassam $90°$.

O Teorema dos Senos é, antes de tudo, uma relação de proporcionalidade entre lados e ângulos opostos de um triângulo qualquer — e a chave para entendê-lo de verdade é enxergar de onde vem a constante que iguala essas razões. Imagine um triângulo ABC de lados a, b e c, opostos respectivamente aos ângulos Â, B̂ e Ĉ. Trace a altura a partir do vértice C, perpendicular ao lado AB, e chame de h essa altura. No triângulo retângulo formado, a altura h pode ser escrita de duas maneiras: pelo lado a, temos h = a·sen B̂ (já que B̂ é o ângulo entre AB e o lado a); pelo lado b, temos h = b·sen Â. Igualando as duas expressões para a mesma altura, chega-se a a·sen B̂ = b·sen Â, ou seja, a/sen  = b/sen B̂.

Repetindo o raciocínio com a altura traçada a partir de outro vértice, obtêm-se as três razões iguais. Até aqui, provamos que as razões são iguais entre si, mas não que valem 2R. Para isso, considere a circunferência circunscrita ao triângulo, de raio R. Tomando o lado a como corda e lembrando que o ângulo inscrito  enxerga essa mesma corda, o ângulo central correspondente mede 2Â; aplicando a lei do seno no triângulo isósceles formado pelos dois raios e pela corda a, obtém-se a = 2R·sen Â, isto é, a/sen  = 2R. Aqui está o ponto que muitos alunos deixam passar: o valor 2R só é constante porque R é fixado pelo próprio triângulo; se você mantém os lados e, portanto, o triângulo, os ângulos também ficam determinados, e a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto resulta sempre no mesmo 2R.

Se os lados mudam, R e os ângulos mudam juntos, preservando a igualdade. Veja um exemplo concreto: um triângulo com  = 30°, B̂ = 45° e lado a = 6 cm. Pelo Teorema dos Senos, 6/sen 30° = b/sen 45°; como sen 30° = 0,5 e sen 45° = √2/2, temos 12 = b/(√2/2), logo b = 6√2 ≈ 8,49 cm. Para achar R, basta 2R = 12, isto é, R = 6 cm — perceba que o raio da circunscrita saiu de graça, sem traçar nada, e é exatamente esse tipo de informação que as bancas adoram esconder em problemas de geometria plana.

Vale ainda lembrar a ligação com a Lei dos Cossenos: enquanto esta resolve o triângulo a partir de dois lados e o ângulo entre eles (ou dos três lados), o Teorema dos Senos brilha quando o dado relevante é um lado e o ângulo que se opõe a ele, e dominar quando usar cada um é metade da batalha nessas questões.

O Teorema dos Cossenos nasce de uma ideia de projeção: se você baixar a altura relativa ao lado $b$, o lado $a$ deixa de ser hipotenusa e passa a ser a hipotenusa de um novo triângulo retângulo cujo cateto horizontal vale $b-c\cos\hat A$. Aplicando Pitágoras nesse triângulo e simplificando, chega-se exatamente à expressão $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\hat A$.