Determinante de uma matriz quadrada
Ordem 1: o próprio elemento. Ordem 2: $\det=ad-bc$. Ordem 3: regra de Sarrus. Acima disso, Laplace, escolhendo a fila com mais zeros. $\det A=0$ significa matriz singular — sem inversa, com linhas dependentes e sistema não determinado.
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O determinante é, antes de tudo, uma função que associa a cada matriz quadrada um único número real, e a razão de existir vem de três propriedades fundamentais: ele é linear em cada linha separadamente, troca de sinal quando permutamos duas linhas e vale 1 na identidade. Dessas três regras decorre todo o resto, inclusive o fato de que o determinante mede o fator de escala dos volumes (ou áreas, no plano) sob a transformação linear representada pela matriz, com o sinal indicando se ela preserva ou inverte a orientação — daí o produto $\det(AB)=\det A\cdot\det B$ fazer sentido geométrico como composição de escalas.
Nos vestibulares, a cobrança vai além do cálculo mecânico: a Fuvest costuma pedir determinantes com incógnitas, exigindo discutir para quais valores de $x$ a matriz é invertível, enquanto a Unicamp e o ITA exploram a relação com sistemas lineares via regra de Cramer e com a geometria analítica, como no cálculo da área de um triângulo pela metade do módulo de um determinante de ordem 3 formado pelas coordenadas dos vértices.
Vale lembrar ainda que o determinante se relaciona à independência linear: linhas proporcionais geram determinante nulo, o que conecta diretamente o tópico à discussão de sistemas possíveis e determinados, tema recorrente em questões que pedem a análise do número de soluções de um sistema em função de um parâmetro.