Operações com números complexos na forma trigonométrica

A fórmula do produto não é um truque algébrico: ela nasce da própria definição da forma trigonométrica quando aplicamos as identidades de adição de arcos. Escrevendo $z_1=\rho_1(\cos\theta_1+i\,\mathrm{sen}\,\theta_1)$ e $z_2=\rho_2(\cos\theta_2+i\,\mathrm{sen}\,\theta_2)$, o produto desenvolve-se como $\rho_1\rho_2[(\cos\theta_1\cos\theta_2-\mathrm{sen}\,\theta_1\mathrm{sen}\,\theta_2)+i(\mathrm{sen}\,\theta_1\cos\theta_2+\mathrm{sen}\,\theta_2\cos\theta_1)]$, e os colchetes são exatamente $\cos(\theta_1+\theta_2)$ e $\mathrm{sen}(\theta_1+\theta_2)$. Daí o padrão $(\rho_1\rho_2,\theta_1+\theta_2)$, e o quociente segue como caso inverso, já que dividir é multiplicar pelo inverso, cujo argumento é $-\theta_2$.

Repetindo o produto $n$ vezes chega-se à fórmula de De Moivre, $z^n=\rho^n\,\mathrm{cis}(n\theta)$, válida para expoentes inteiros, e que também resolve raízes ao inverter o raciocínio. Geometricamente, multiplicar por um complexo fixo de argumento $\phi$ é aplicar ao afixo uma rotação de $\phi$ seguida de homotetia de razão $\rho$ — por isso o produto de complexos unitários percorre o círculo unitário. Exemplo: $z_1=2\,\mathrm{cis}\,30^\circ$ e $z_2=3\,\mathrm{cis}\,45^\circ$ dão $z_1z_2=6\,\mathrm{cis}\,75^\circ$, enquanto $z_1/z_2=\tfrac{2}{3}\,\mathrm{cis}(-15^\circ)$ e $z_1^4=16\,\mathrm{cis}\,120^\circ$.

Na forma trigonométrica, escrevemos $z=\rho(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)$ e $w=\sigma(\cos\varphi+i\operatorname{sen}\varphi)$; o produto tem módulo $\rho\sigma$ e argumento $\theta+\varphi$, enquanto o quociente tem módulo $\rho/\sigma$ e argumento $\theta-\varphi$ — ou seja, multiplicar gira e dilata, dividir gira ao contrário e contrai. Isso decorre das fórmulas de adição de cosseno e seno: $\cos(\theta+\varphi)+i\operatorname{sen}(\theta+\varphi)=(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)(\cos\varphi+i\operatorname{sen}\varphi)$. Daí sai naturalmente a primeira fórmula de De Moivre, e as raízes $n$-ésimas correspondem a dividir o argumento por $n$ e reduzir o módulo pela raiz $n$-ésima.

Por exemplo, para $z=1+i\sqrt{3}$, temos $\rho=2$ e $\theta=\pi/3$, logo $z^6=2^6[\cos(2\pi)+i\operatorname{sen}(2\pi)]=64$; as raízes cúbicas têm módulo $\sqrt[3]{2}$ e argumentos $\frac{\pi/3+2k\pi}{3}$, formando um triângulo equilátero inscrito na circunferência de raio $\sqrt[3]{2}$. Na Fuvest e na Unicamp, costuma-se pedir produto, quociente e potência em forma trigonométrica, cálculo de raízes e identificação do polígono dos afixos; no ITA, aparecem questões com argumentos genéricos e demonstrações envolvendo identidades.

Todo número complexo $z=a+bi$ pode ser escrito na forma trigonométrica $z=\rho(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)$, em que $\rho=|z|$ é o módulo e $\theta=\arg(z)$ é o argumento, medido em radianos a partir do eixo real positivo, no sentido anti-horário, com a convenção $0\le\theta<2\pi$. Classificar $z$ pelo argumento significa, na prática, localizar seu afixo no plano de Argand-Gauss e traduzir essa posição em propriedades algébricas: quando $\theta$ está no primeiro quadrante, $a>0$ e $b>0$; no segundo, $a<0$ e $b>0$; no terceiro, $a<0$ e $b<0$; no quarto, $a>0$ e $b<0$. Note a diferença crucial entre "imaginário puro" e "não real": um número como $z=2i$ tem parte real nula e argumento $\frac{\pi}{2}$, mas $z=-2i$ também é imaginário puro, porém com argumento $\frac{3\pi}{2}$; já um número como $z=1+i$ tem $\theta=\frac{\pi}{4}$ e não é real nem imaginário puro.

Outro ponto fino: o argumento só é único se fixarmos o intervalo $[0,2\pi)$; caso contrário, $\theta+2k\pi$ representa o mesmo complexo, o que explica por que a classificação depende do intervalo escolhido. Exemplo concreto: seja $z=-1+\sqrt{3}i$. Seu módulo é $\rho=\sqrt{1+3}=2$ e $\cos\theta=-\frac{1}{2}$, $\operatorname{sen}\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$, logo $\theta=\frac{2\pi}{3}$, segundo quadrante, portanto $z$ tem parte real negativa e imaginária positiva.

Na forma trigonométrica, um número complexo é escrito como $z=\rho(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)$, em que $\rho=|z|\ge 0$ é o módulo e $\theta$ é um argumento, ângulo que o vetor representativo forma com o eixo real positivo.

O ponto central da igualdade polar é entender que, embora cada número complexo tenha um único módulo, ele possui infinitos argumentos: se $\theta$ é um argumento de $z$, então todo $\theta+2k\pi$, com $k\in\mathbb{Z}$, também é, pois somar uma volta completa não altera a posição do vetor no plano de Argand-Gauss. Assim, dois complexos não nulos são iguais quando têm o mesmo módulo e argumentos côngruos módulo $2\pi$; se um deles for zero, o argumento é indefinido e a comparação se reduz a $\rho_1=\rho_2=0$.