Logaritmos decimais e equação logarítmica

O logaritmo decimal é o expoente ao qual elevamos a base 10 para obter um número positivo $N$, isto é, $\log N = x \iff 10^x = N$. Sua importância prática vem de a notação científica usar potências de 10: escrevendo $N = a \cdot 10^k$ com $1 \le a < 10$ e $k$ inteiro, temos $\log N = \log a + k$. Como $1 \le a < 10$, vale $0 \le \log a < 1$: a parte inteira do logaritmo é exatamente $k$, chamada característica, e a parte fracionária $\log a$ é a mantissa. A mantissa depende apenas dos algarismos de $N$ (não da posição da vírgula), enquanto a característica registra a ordem de grandeza. Daí a regra do resumo: se $N$ tem $k$ algarismos, então $10^{k-1} \le N < 10^k$, logo o logaritmo está em $[k-1, k)$ e sua parte inteira é $k-1$.

Exemplo concreto: para estimar quantos algarismos tem $2^{100}$, calculamos $\log 2^{100} = 100\log 2 \approx 100 \cdot 0{,}30103 = 30{,}103$. A característica é 30, então $2^{100}$ tem 31 algarismos — e como a mantissa é $0{,}103$, com $\log 2 \approx 0{,}301$, o número começa por volta de $10^{0{,}103} \approx 1{,}27$, ou seja, $2^{100} \approx 1{,}27 \times 10^{30}$.

A equação logarítmica é aquela em que a incógnita aparece no logaritmando ou na base, e sua resolução exige atenção redobrada à condição de existência: para $\log_a b$, precisamos de $a>0$, $a\neq 1$ e $b>0$. Antes de manipular qualquer expressão, imponha essas restrições — é o passo que evita aceitar raízes falsas. As ferramentas centrais são a definição ($\log_a b=c\Leftrightarrow a^c=b$), a igualdade de logaritmos de mesma base e as propriedades (produto, quociente, potência), usadas para reduzir a equação a uma forma elementar. Considere $\log_2(x-1)+\log_2(x+3)=5$: pela propriedade do produto, $\log_2[(x-1)(x+3)]=5$, logo $(x-1)(x+3)=2^5=32$, isto é, $x^2+2x-35=0$, cujas raízes são $x=5$ e $x=-7$.

Aplicando as condições $x-1>0$ e $x+3>0$, ou seja $x>1$, vemos que $-7$ é raiz estranha — surgida apenas da manipulação algébrica, não do domínio original — e só $x=5$ serve. Esse é o padrão típico de prova: a banca oferece alternativas que incluem a raiz espúria justamente para punir quem não testa. Quando as bases diferem, como $\log_3 x+\log_9 x=3$, é preciso uni-las por mudança de base: escreva $\log_9 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 9}=\frac{\log_3 x}{2}$ e, com $t=\log_3 x$, resolva $t+\frac{t}{2}=3$, obtendo $t=2$ e $x=9$, sempre conferindo o domínio.