Circunferências e congruência de triângulos

A circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo chamado centro; essa definição, aparentemente simples, é a chave para resolver questões de tangência, posições relativas e ângulos. Duas retas podem ser secantes, tangentes ou externas à circunferência, e o critério é a comparação entre a distância do centro à reta e o raio: menor que $r$, igual a $r$ ou maior que $r$, respectivamente. Já entre duas circunferências, as posições vão de concêntricas a externas, passando por tangentes internas ou externas e secantes, com o número de pontos comuns variando de zero a dois. Outro pilar é o Teorema de Tales: todo ângulo inscrito que enxerga um diâmetro é reto, e o ângulo central mede o dobro do inscrito correspondente.

Some-se a isso a potência de um ponto, que relaciona segmentos de secantes e tangentes: para um ponto $P$ externo, $PT^2 = PA \cdot PB$, ferramenta clássica em configurações com duas cordas concorrentes. Exemplo concreto: numa circunferência de raio 5, uma corda dista 3 do centro; pelo teorema de Pitágoras, sua metade mede 4, logo a corda inteira mede 8, e o arco correspondente pode ser obtido pelo cosseno do ângulo central. Na Fuvest e na Unicamp, o tema costuma aparecer misturado à geometria analítica, com equações $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, cálculo de centros, raios, retas tangentes e pontos de interseção, além de problemas de congruência de triângulos formados por raios, cordas e tangentes, em que a identificação de lados iguais e ângulos opostos é decisiva para provar igualdades e encontrar medidas desconhecidas; por isso, dominar as relações métricas e os casos de congruência (LAL, ALA, LLL) economiza tempo e evita contas desnecessárias na prova.

Esses ângulos não vivem isolados: eles formam uma rede de relações que conecta arcos, cordas e pontos da circunferência.

Vale lembrar que o vértice é o que define o tipo de ângulo — se está no centro, é central; na circunferência, é inscrito; se uma corda tangencia a curva, temos o ângulo de segmento; e quando o vértice é interno (cruzamento de duas cordas) ou externo (encontro de duas secantes, duas tangentes ou secante e tangente), entram as fórmulas de semissoma e semidiferença. O ponto-chave é que todos esses resultados saem de um único teorema: o ângulo inscrito é metade do arco correspondente, e o central é igual ao arco. Exemplo concreto: numa circunferência de centro O, tomemos os pontos A, B e C sobre ela, com o arco AB medindo 100°. Se C está no arco maior, o ângulo ACB mede 50°; se C está no arco menor, o ângulo inscrito vira 130° (metade do arco maior de 260°).

Isso mostra por que dois ângulos inscritos que olham para o mesmo arco são congruentes — e por que o ângulo do semicírculo é reto, pois o arco correspondente é 180°. Agora, se duas cordas se cruzam dentro do círculo, o ângulo entre elas é a média dos arcos opostos: por exemplo, arcos de 80° e 120° dão ângulo interno de 100°. Já duas secantes que se encontram fora geram ângulo igual à semidiferença: arcos de 140° e 60° dão 40°. Na prática, provas como Fuvest, Unicamp e ENEM cobram isso em figuras com triângulos inscritos, polígonos regulares, relógios e rodas, exigindo que você identifique o tipo de ângulo e aplique a relação certa.

Comparar figuras geométricas exige distinguir três relações que não se confundem: congruência, semelhança e equivalência. Na congruência, há uma correspondência biunívoca entre vértices e lados, de modo que todos os lados e ângulos correspondentes são iguais, sendo possível sobrepor uma figura à outra por isometria (translação, rotação ou reflexão). A semelhança é mais ampla: a razão entre lados homólogos é constante $k$, e os ângulos correspondentes permanecem iguais, mas o tamanho pode mudar, como ocorre em duas fotografias da mesma imagem em escalas diferentes. A equivalência, por sua vez, compara apenas áreas, ignorando forma e perímetro: um quadrado de lado 2 e um triângulo de base 4 e altura 2 têm a mesma área 4, mas não são congruentes nem semelhantes.

A congruência de triângulos é a relação de igualdade entre dois triângulos que têm todos os lados e ângulos correspondentes iguais, e os casos LAL, ALA, LLL e LAAo funcionam como atalhos que garantem essa igualdade sem precisar verificar os seis elementos. No LAL, dois lados e o ângulo entre eles determinam o triângulo de forma única; no ALA, dois ângulos e o lado entre eles fazem o mesmo; no LLL, três lados fixam a forma; e no LAAo, dois ângulos e o lado oposto a um deles também bastam, pois o terceiro ângulo fica determinado pela soma 180°. A sutileza é que a ordem importa: o ângulo do LAL precisa estar entre os lados, e o lado do LAAo precisa ser oposto a um dos ângulos dados.

Por exemplo, se dois triângulos têm AB = A'B', AC = A'C' e o ângulo BÂC = B'Â'C', eles são congruentes por LAL, mesmo que não saibamos nada sobre os demais lados e ângulos; essa informação se propaga automaticamente, permitindo concluir BC = B'C' e os outros ângulos correspondentes.

As isometrias formam um grupo: a composição de duas isometrias ainda é isometria, a identidade é isometria e toda isometria tem inversa (a mesma transformação aplicada de volta), propriedade que garante que congruência é relação de equivalência entre figuras. Duas figuras são congruentes exatamente quando existe uma isometria levando uma na outra — é isso que permite provar congruência "movendo" um triângulo sobre o outro, em vez de comparar lado a lado. A reflexão deslizante (reflexão seguida de translação paralela ao eixo) é a quarta isometria do plano, ao lado de translação, rotação e reflexão pura; assim, quatro é o número de tipos possíveis.

Como exemplo concreto, tome o triângulo de vértices A(0,0), B(3,0) e C(0,4). Translade-o pelo vetor (1,2): obtém-se A'(1,2), B'(4,2) e C'(1,6), com lados 3, 4 e 5 preservados — congruente ao original. Se, em vez disso, aplicar a homotetia de razão 2 centrada na origem, os vértices vão a (0,0), (6,0) e (0,8): os ângulos continuam iguais, mas os lados dobram, logo os triângulos são semelhantes, não congruentes — a homotetia não é isometria. Na prática, o tema aparece de dois modos: em questões diretas de Fuvest e Unicamp, pede-se identificar qual transformação leva uma figura à outra ou reconhecer a composta de duas reflexões; em problemas de congruência (LAL, ALA, LLL), a isometria justifica por que basta exibir um movimento rígido.