Equações da circunferência

A equação reduzida nasce de um raciocínio que vale a pena reconstruir: um ponto $P(x,y)$ pertence à circunferência de centro $C(a,b)$ e raio $r$ exatamente quando sua distância a $C$ é igual a $r$, ou seja, $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$; elevando os dois lados ao quadrado, obtemos a forma reduzida. Isso explica por que o raio aparece como número positivo e por que não há termo em $xy$ nem coeficientes diferentes de 1 em $x^2$ e $y^2$ — a estrutura já denuncia que se trata de uma circunferência. Vale dominar a conversão entre as formas: ao expandir $(x-3)^2+(y+2)^2=25$, chega-se a $x^2+y^2-6x+4y-12=0$, a equação geral, e o caminho inverso se faz completando quadrados, técnica muito cobrada.

A equação geral $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$ só descreve uma circunferência real quando, após completar quadrados, obtemos $\left(x+\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{E}{2}\right)^{2}=\frac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}$, isto é, $\left(x-x_c\right)^{2}+\left(y-y_c\right)^{2}=R^{2}$ com centro $C\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$ e raio $R=\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}$; como o raio deve ser positivo, exige-se $D^{2}+E^{2}-4F>0$, enquanto $D^{2}+E^{2}-4F=0$ dá uma circunferência degenerada em um único ponto $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$ e valor negativo conduz a conjunto vazio no plano real.

Vale notar que os coeficientes de $x^2$ e $y^2$ precisam ser iguais e não nulos: se forem diferentes ou surgir termo $xy$, a equação representa uma cônica genérica, não necessariamente uma circunferência. Veja um caso concreto: $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$. Completando quadrados, $\left(x-3\right)^{2}-9+\left(y+2\right)^{2}-4-12=0$, logo $\left(x-3\right)^{2}+\left(y+2\right)^{2}=25$, ou seja, centro $C(3,-2)$ e raio $5$. Verifique o discriminante: $D^{2}+E^{2}-4F=36+16+48=100>0$, confirmando a circunferência; se $F=13$ resultaria $D^{2}+E^{2}-4F=0$, um ponto, e se $F=14$ daria valor negativo, conjunto vazio.