Conjuntos numéricos

Os números naturais podem ser apresentados de forma axiomática pelos axiomas de Peano, que caracterizam $\mathbb{N}$ a partir de um elemento inicial e de uma função sucessor, permitindo provar rigorosamente as propriedades usuais das operações e da ordem. Nessa construção, a indução finita deixa de ser apenas uma técnica de demonstração e se torna consequência direta do axioma de indução, segundo o qual, se uma propriedade vale para o primeiro natural e, sempre que vale para $n$, vale para o sucessor de $n$, então ela vale para todos os naturais. A ordem em $\mathbb{N}$ também merece atenção: escrevemos $a \le b$ quando existe $c \in \mathbb{N}$ tal que $a+c=b$, o que faz da relação $\le$ uma ordem total compatível com a soma e o produto, isto é, se $a \le b$, então $a+c \le b+c$ e $ac \le bc$.

Os números inteiros surgem da necessidade de tornar a subtração sempre possível: enquanto nos naturais $5-8$ não tem resposta, em $\mathbb{Z}$ ela é $-3$, e essa propriedade de fechamento é o que transforma $\mathbb{Z}$ numa estrutura algébrica rica, na qual toda equação da forma $x+a=b$ tem solução única. Sobre esse conjunto constroem-se as noções de divisor, múltiplo e valor absoluto, e daí decorrem o algoritmo de Euclides para o mdc, o teorema fundamental da aritmética (todo inteiro se decompõe em primos de modo único) e a linguagem de congruências módulo $m$, que reduz o problema a examinar restos possíveis.

Os racionais surgem da necessidade de resolver equações que os inteiros não contemplam, como $2x=1$, e sua construção formal identifica pares ordenados $(p,q)$ sob a relação de equivalência $\frac{p}{q}=\frac{r}{s}\iff ps=rq$, o que garante que infinitas frações representem o mesmo número — daí a importância de trabalhar sempre com a forma irredutível. Duas armadilhas clássicas merecem atenção: primeiro, a densidade de $\mathbb{Q}$, isto é, entre dois racionais quaisquer sempre existe outro (a média aritmética serve), o que não impede que existam "buracos" na reta, preenchidos pelos irracionais; segundo, a representação decimal, em que a dízima periódica simples tem período começando logo após a vírgula, enquanto a composta traz uma parte não periódica antes.

Veja um caso concreto: escrever $0{,}4\overline{7}$ como fração. Multiplicando por 10, obtemos $10x=4{,}\overline{7}$; como $0{,}\overline{7}=\frac{7}{9}$, segue $10x=4+\frac{7}{9}=\frac{43}{9}$, logo $x=\frac{43}{90}$. Esse método algébrico, mais rápido que a soma de PG, é o que as bancas esperam.

A completude de $\mathbb{R}$ significa que toda sequência de Cauchy de reais converge para um real, o que não ocorre em $\mathbb{Q}$ — por exemplo, as aproximações decimais truncadas de $\sqrt{2}$ formam uma sequência de racionais que "quer" convergir, mas seu limite não pertence a $\mathbb{Q}$; é exatamente essa falha que a construção por cortes de Dedekind ou por classes de sequências de Cauchy corrige, e é isso que garante a existência de supremos e ínfimos para conjuntos limitados. Outro ponto que as provas exploram é a distinção entre algébricos e transcendentes: todo racional é algébrico, mas irracionais como $\sqrt{2}$ e $\sqrt[3]{5}$ também são algébricos, pois são raízes de polinômios com coeficientes inteiros, enquanto $\pi$ e $e$ são transcendentes, ou seja, não satisfazem nenhuma equação polinomial de coeficientes inteiros não nulos — a demonstração da transcendência de $\pi$ é sofisticada e normalmente não é cobrada, mas sua classificação como irracional é.

A representação decimal é um critério prático valioso: um número é racional se e somente se sua expansão decimal é finita ou infinita periódica, de modo que $0{,}333\ldots=\tfrac{1}{3}$ e $0{,}121212\ldots=\tfrac{4}{33}$, ao passo que $0{,}101001000100001\ldots$ é irracional, pois sua parte decimal não é periódica. Já a densidade tem consequência surpreendente: embora $\mathbb{Q}$ seja enumerável e "muito menor" que $\mathbb{I}$, entre $a<b$ quaisquer sempre existem infinitos racionais e infinitos irracionais, e isso permite construir sequências de racionais convergindo para qualquer irracional e vice-versa. Um cuidado clássico é que produto de irracionais também pode ser racional, como $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$, e que a soma de um racional com um irracional é sempre irracional — fato útil para provar, por absurdo, a irracionalidade de números como $\sqrt{3}$ e $\log_{10}2$.

Na Fuvest, na Unicamp e no ENEM, o tema aparece em questões que pedem identificar a natureza de um número dado, comparar decimais, determinar intervalos com racionais e irracionais ou usar a densidade para justificar afirmações sobre aproximações, sempre exigindo que o candidato domine tanto a definição quanto as operações que preservam ou destroem cada conjunto.