Posições relativas no espaço

As condições de determinação no espaço são os conjuntos mínimos de elementos que fixam, sem ambiguidade, uma figura geométrica — e é justamente aqui que a geometria espacial se distancia da plana, pois no espaço um único ponto, ou dois pontos, ou uma reta e um ponto externo comportam-se de modo diferente do que intuímos no plano. Um plano, por exemplo, fica determinado por três pontos não colineares, por uma reta e um ponto fora dela, ou por duas retas concorrentes; duas retas paralelas também determinam um plano, mas duas retas reversas não determinam plano algum, já que não são coplanares. Já uma reta fica determinada por dois pontos distintos, e um ponto por suas três coordenadas — daí a necessidade de três informações independentes para localizar algo no espaço, contra apenas duas no plano.

Exemplo concreto: sejam A(0,0,0), B(1,0,0) e C(0,1,0); esses três pontos não colineares determinam o plano z = 0, e qualquer quarto ponto D(0,0,1) está fora dele, de modo que a reta por A e D é reversa em relação à reta por B e C — verificação rápida pelo produto misto (D−A)·[(B−A)×(C−A)] ≠ 0.

Dominar essas condições é, portanto, pré-requisito para resolver interseções, ângulos e distâncias, pois só sabendo qual figura está de fato determinada é possível calcular algo sobre ela com segurança.

O perpendicularismo no espaço exige cuidado porque, ao contrário da geometria plana, duas retas podem formar ângulo reto sem se tocar — são as retas ortogonais, caso em que o ângulo reto é medido entre uma delas e uma paralela à outra passando por um ponto da primeira. Já a perpendicularidade propriamente dita entre reta e plano combina ortogonalidade e interseção: a reta corta o plano e é ortogonal a todas as retas contidas nele que passam pelo ponto de corte. O critério das duas retas concorrentes funciona porque, se uma reta é ortogonal a duas direções independentes do plano, ela é ortogonal a toda combinação linear delas, isto é, a qualquer direção contida no plano — é aí que entra a dependência linear dos vetores.

O conceito formal de projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o ponto de interseção desse plano com a reta perpendicular a ele que passa pelo ponto; a partir dessa definição, a projeção de qualquer figura é o conjunto das projeções de seus pontos, o que explica por que esse instrumento é tão poderoso na geometria espacial: ele transforma um problema tridimensional em um problema bidimensional, preservando certas relações métricas e destruindo outras. Vale destacar a diferença entre projetar sobre uma reta e sobre um plano: na projeção ortogonal sobre uma reta, a distância entre as projeções de dois pontos é o módulo do produto escalar do vetor que os une pelo versor da reta, o que dá a “componente” do deslocamento naquela direção; já na projeção sobre um plano, o que se conserva é a componente paralela ao plano, e a distância entre o ponto e sua projeção é exatamente a distância do ponto ao plano, obtida pela fórmula d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²) para o plano ax + by + cz + d = 0.

O triedro de faces α, β e γ é a generalização tridimensional do ângulo plano: em vez de duas semirretas com origem comum delimitando uma região, tomamos três semirretas não coplanares partindo do mesmo ponto, o vértice, que aos pares definem três ângulos diedros e três ângulos de face. Cada face é o ângulo entre duas dessas arestas, medido no plano que as contém, e a condição de existência é que cada face seja menor que a soma das outras duas e maior que o módulo da diferença entre elas — exatamente a desigualdade triangular aplicada aos ângulos, pois se uma face igualasse ou superasse a soma das demais, as três arestas seriam coplanares e o triedro degeneraria num diedro.

Além disso, a soma das três faces é sempre menor que $360°$, já que um triedro não pode ser “achatado” além do plano.