Propriedades operatórias
Congruências se somam e se multiplicam como igualdades: se $a\equiv b$ e $c\equiv d\pmod{m}$, então $a+c\equiv b+d$ e $ac\equiv bd\pmod{m}$. Daí $a^{n}\equiv b^{n}\pmod{m}$ — o atalho para achar o último algarismo de potências enormes, como $7^{100}\pmod{10}$.
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A compatibilidade das congruências com soma e produto, mencionada no resumo, não é um acaso: ela decorre de as congruências formarem uma relação de equivalência que respeita a estrutura aritmética dos inteiros, o que permite tratá-las quase como igualdades em cálculos. Para entender de onde tudo vem, note que $a\equiv b\pmod{m}$ significa, por definição, que $m\mid(a-b)$, isto é, $a=b+km$ para algum inteiro $k$. A partir daí, o que autoriza operar é a compatibilidade com as operações: somando membro a membro duas congruências $a\equiv b$ e $c\equiv d\pmod{m}$, obtemos $a+c=b+d+(k_1+k_2)m$, logo $a+c\equiv b+d\pmod{m}$; multiplicando, $ac=bd+(k_1d+k_2b+k_1k_2m)m$, logo $ac\equiv bd\pmod{m}$.
Esse truque gera resultados poderosos, como o pequeno teorema de Fermat ($a^{p}\equiv a\pmod{p}$ para $p$ primo) e o teorema de Euler, ferramentas centrais para reduzir expoentes gigantes.