Distribuição binomial
Para $n$ ensaios independentes, cada um com probabilidade $p$ de sucesso, a chance de exatamente $k$ sucessos é $P(k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k}$. O binomial conta as ordens possíveis, e as potências dão a probabilidade de cada ordem. Requisitos: número fixo de ensaios, apenas dois resultados, $p$ constante e independência. Média $np$. Reconhece-se pelo enunciado “em 10 lançamentos, exatamente 3…”.
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A distribuição binomial é um modelo de probabilidade discreta que descreve o número de sucessos em uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes e idênticos, e sua importância nas provas vem justamente de traduzir situações reais em uma fórmula única. O conceito-chave é que cada ensaio tem apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), com probabilidade de sucesso $p$ constante, e que os ensaios não se influenciam mutuamente; a variável aleatória $X$ conta quantos sucessos ocorrem em $n$ ensaios. Para entender a fórmula, pense em uma ordem específica, como SSF...F: a probabilidade dessa ordem é $p^{k}(1-p)^{n-k}$, pois os ensaios são independentes e basta multiplicar as probabilidades.
Como existem $\binom{n}{k}$ ordens diferentes com exatamente $k$ sucessos, a probabilidade total é a soma dessas ordens iguais, resultando em $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$.