Parábolas e inequações com duas variáveis

A parábola, além da definição geométrica, pode ser encarada como o gráfico de uma função quadrática $y = ax^{2} + bx + c$, e é justamente essa leitura dupla — lugar geométrico e função — que os vestibulares costumam explorar. Por isso vale dominar a manipulação algébrica que reconhece a forma canônica a partir da equação: completando quadrados, $y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{\Delta}{4a}$, o que revela imediatamente o vértice $V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$ e o eixo de simetria $x_v = -\frac{b}{2a}$. Note também que a distância do vértice ao foco é sempre $|p| = \frac{1}{4|a|}$, ligando o coeficiente $a$ da função quadrática ao parâmetro geométrico da cônica: quanto menor $|a|$, mais aberta a parábola e mais distante o foco da diretriz.

Esse diálogo entre as duas linguagens é o que permite resolver problemas aparentemente de geometria analítica usando apenas ferramentas de função quadrática, e vice-versa. Como exemplo concreto, tome $x^{2} = 8y$. Comparando com $x^{2} = 4py$, obtemos $4p = 8$, logo $p = 2$: o foco é $F(0,2)$, a diretriz é $y = -2$ e o vértice é a origem. Um ponto qualquer da curva, digamos $(4,2)$, satisfaz a definição: sua distância a $F$ vale $\sqrt{4^{2}+0^{2}} = 4$, e sua distância à reta $y=-2$ vale $2-(-2)=4$, confirmando a igualdade.

O ponto de partida é enxergar cada inequação com duas variáveis como uma condição sobre pares ordenados: resolver $y>f(x)$ significa descrever todos os pontos $(x,y)$ cuja ordenada supera o valor da função naquele $x$, o que produz uma região infinita, e não um conjunto de números isolados. Por isso, ao estudar parábolas, é essencial lembrar que a concavidade e as raízes organizam o plano de modo especial: em $y>x^2-4$, a fronteira é a parábola de vértice $(0,-4)$ e raízes $x=\pm2$, e a região solução é todo o "miolo" interno dessa parábola, pois para cada $x$ entre $-2$ e $2$ a curva está abaixo do eixo $x$, mas ainda assim $y$ precisa ficar acima dela.

A ideia central é que a circunferência de centro $C(a,b)$ e raio $r$ funciona como uma curva de nível da função distância: cada ponto do plano é classificado comparando-se $d=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ com $r$. Elevando ao quadrado (operação válida porque ambos os lados são não negativos), obtém-se o critério $d<r$ interior, $d=r$ fronteira e $d>r$ exterior, o que evita o cálculo direto da raiz e permite tratar inequações com radicais como inequações quadráticas.

Há ainda a categoria "fechada", dada por $(x-a)^2+(y-b)^2\ge r^2$, que inclui a circunferência, e cuja fronteira costuma ser excluída ou incluída conforme o enunciado. Combinando com retas, formam-se setores e segmentos circulares: para achar a área do conjunto $\{(x,y):(x-2)^2+(y+1)^2\le 9,\ x\ge 2,\ y\le -1\}$, tem-se um quarto de disco de área $\frac{1}{4}\pi\cdot 9=\frac{9\pi}{4}$.