F1 · Aulas 19–20

Logaritmos

Definição de logaritmo

$\log_{a}b=x\Leftrightarrow a^{x}=b$, com base $a\gt 0$, $a\neq 1$, e logaritmando $b\gt 0$. É o expoente que falta. Condição de existência é meia questão: em $\log_{x-1}(x^{2}-4)$, imponha $x\gt 2$, $x\neq 2$ — bancas cobram o domínio, não a conta.

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O logaritmo nasce da necessidade de inverter a potenciação: enquanto $a^{x}=b$ pergunta "qual o resultado de elevar $a$ a $x$?", o logaritmo pergunta "a que expoente devo elevar $a$ para obter $b$?". Por isso dizemos que logaritmo é o expoente isolado, e essa leitura é a chave para resolver equações logarítmicas sem decorar fórmulas: basta reescrever na forma exponencial. A restrição $a\gt 0$ e $a\neq 1$ existe porque base negativa geraria potências alternadas sem função inversa bem definida, e base $1$ tornaria $\log_{1}b$ indeterminado, já que $1^{x}=1$ para todo $x$; já $b\gt 0$ decorre de que potências de base positiva nunca resultam em número negativo ou zero.

Consequências da definição

$\log_{a}1=0$; $\log_{a}a=1$; $\log_{a}a^{n}=n$; e a identidade fundamental $a^{\log_{a}b}=b$. Desta última saem as simplificações mais elegantes, como $2^{\log_{2}5}=5$ — atalho que a ITA gosta de exigir.

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A definição de logaritmo, $\log_{a}b=x \Leftrightarrow a^{x}=b$, só faz sentido quando $a>0$, $a\neq 1$ e $b>0$ — essas três condições de existência são a origem de quase todas as armadilhas de prova, e é justamente delas que nascem as consequências mais profundas.

Propriedades

$\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y$; $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$; $\log_{a}x^{n}=n\log_{a}x$. Pegadinha: $\log(x+y)$ não se abre, e $\log_a x^{2}=2\log_a|x|$ quando $x$ pode ser negativo. Fora do domínio, a propriedade cria raízes falsas.

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As três propriedades operatórias dos logaritmos não são regras soltas para memorizar: todas nascem diretamente da definição $\log_a b=c \iff a^{c}=b$ combinada com as leis de potência, e é justamente essa origem que explica tanto sua validade quanto seus limites de aplicação. Para ver isso, tome $x=a^{m}$ e $y=a^{n}$, de modo que $\log_a x=m$ e $\log_a y=n$. Como $xy=a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$, segue por definição que $\log_a(xy)=m+n=\log_a x+\log_a y$; de forma análoga, $\frac{x}{y}=a^{m-n}$ produz a diferença, e $x^{k}=(a^{m})^{k}=a^{mk}$ produz o fator $k$ multiplicando o logaritmo.

Mudança de base

$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$, para qualquer base $c$ válida. Casos úteis: $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$ e $\log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}\log_{a}b$. É o que permite jogar tudo para a base 10 e usar os valores tabelados de $\log 2$ e $\log 3$.

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A mudança de base é a ferramenta que dá liberdade aos logaritmos: como as propriedades operatórias (log do produto, do quociente, da potência) só funcionam quando todos os termos estão na mesma base, saber converter bases é o que permite manipular expressões mistas, como $\log_{2}x+\log_{8}x$, sem travar. A intuição é que o logaritmo mede um expoente, e trocar de base significa reescrever esse expoente em outra “unidade de contagem”, algo análogo a converter metros em centímetros: o comprimento não muda, só a escala.