Posições relativas envolvendo circunferências

A ideia central por trás das posições relativas entre reta e circunferência é que ambos são objetos geométricos descritos por equações, e essa convivência pode ser traduzida algebricamente. Enquanto o resumo destaca o critério da distância e a alternativa do discriminante, vale entender por que os dois caminhos funcionam: a distância do centro à reta mede o quão "perto" a reta chega do ponto central, e como todos os pontos da circunferência estão exatamente a $r$ do centro, comparar $d$ com $r$ decide tudo. Já o método algébrico resolve o sistema formado pela equação da reta e da circunferência, e o número de soluções reais — controlado pelo $\Delta$ — corresponde exatamente aos pontos de interseção.

Por isso os veredictos coincidem: $\Delta>0$ equivale a $d\lt r$, $\Delta=0$ a $d=r$ e $\Delta\lt0$ a $d\gt r$.

A chave conceitual aqui é perceber que a distância do centro à reta tangente é sempre igual ao raio, e nos eixos coordenados essa distância se lê diretamente nas coordenadas: a distância de $C(a,b)$ ao eixo $x$ é $|b|$, ao eixo $y$ é $|a|$. Por isso, se a circunferência tangencia o eixo $x$, vale $r=|b|$, o que gera dois casos, $b=r$ (tangência por cima do eixo) ou $b=-r$ (por baixo); idem para o eixo $y$, com $a=\pm r$.

Vale lembrar que, se a circunferência tangencia os eixos e está, digamos, no primeiro quadrante, seu centro é $(r,r)$ e a equação sai imediatamente: $(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$. Exemplo concreto: uma circunferência de raio $3$ tangente aos dois eixos no primeiro quadrante tem centro $(3,3)$ e equação $(x-3)^2+(y-3)^2=9$; no segundo quadrante, o centro seria $(-3,3)$.

A ideia central por trás das posições relativas entre duas circunferências é que tudo se decide por um único número: a distância $d$ entre os centros, comparada com os raios $R$ e $r$ (suponha $R\ge r$). Em vez de decorar, pense no raio maior $R$ como quem "comanda" a cena e no raio menor $r$ como quem se desloca: se o centro da menor está muito longe, ela nem toca a maior; aproximando-o, chega um instante em que os dois círculos se tocam num único ponto externo; continuando a aproximação, eles se cruzam em dois pontos; num certo limiar, o menor encosta na maior por dentro, tocando-a num único ponto interno; mais perto ainda, fica inteiramente dentro sem tocar; e, no extremo, os centros coincidem, tornando-as concêntricas.

Essa transição contínua entre os cinco casos é exatamente o que as inequações do resumo capturam, e é útil notar que a tangência é sempre uma situação-limite, de medida zero, entre exterioridade e secância ou entre secância e interioridade. Veja um exemplo concreto: tome $C_1=(0,0)$ com $R=5$ e $C_2$ com $r=3$. Se $C_2=(10,0)$, então $d=10>8=R+r$ e as circunferências são externas. Fixando $C_2=(8,0)$, temos $d=8=R+r$: tangentes externas, num único ponto, $(5,0)$. Escolhendo $C_2=(6,0)$, vem $d=6$, e como $|R-r|=2<6<8$, são secantes, cortando-se em dois pontos. Se $C_2=(2,0)$, $d=2=|R-r|$: tangentes internas, tocando-se em $(5,0)$ pelo lado de dentro.

Com $C_2=(1,0)$, $d=1<2$, logo a menor é interna à maior sem tocar; e, enfim, com $C_2=(0,0)$, $d=0$, ficam concêntricas.