Polinômios

A identidade polinomial repousa sobre um fato central: se dois polinômios assumem o mesmo valor em infinitos pontos, então são o mesmo polinômio, com coeficientes iguais termo a termo. Isso decorre de um polinômio de grau $n$ ter no máximo $n$ raízes; logo, a diferença entre dois polinômios que coincidem em infinitos pontos seria um polinômio com infinitas raízes, o que só é possível se for o polinômio nulo. Esse resultado é o princípio da identidade polinomial, e é ele que legitima substituir valores convenientes de $x$ ou igualar coeficientes para determinar incógnitas. Veja um exemplo: queremos $a$, $b$ tais que $ax^2 + (b-2)x + 5 \equiv 3x^2 + x + c$ para todo $x$.

Igualando coeficiente a coeficiente, temos $a = 3$, $b - 2 = 1 \Rightarrow b = 3$ e $c = 5$. Poderíamos também testar $x = 0$, $x = 1$ e $x = -1$, mas o método dos coeficientes é mais direto.

Além das regras básicas de grau e dos atalhos de avaliação, as propriedades dos polinômios que mais aparecem em prova envolvem a identidade de polinômios e o teorema do resto. Dois polinômios são idênticos quando têm o mesmo grau e todos os coeficientes correspondentes iguais — ou, equivalentemente, quando assumem valores iguais para infinitos valores de $x$. Isso permite o método dos coeficientes a determinar: se sabemos que $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ satisfaz certas condições, igualamos coeficiente a coeficiente para montar um sistema. Já o teorema do resto afirma que o resto da divisão de $P(x)$ por $(x-a)$ é exatamente $P(a)$; em particular, se $P(a)=0$, então $(x-a)$ divide $P(x)$ (teorema de D'Alembert).

Dominar essas propriedades economiza tempo e evita contas desnecessárias na prova.