Troncos de cones e de pirâmides

A ideia central é que a semelhança não é uma suposição, mas consequência da geometria: ao cortar o cone por um plano paralelo à base, o triângulo retângulo formado pelo eixo, pela altura e pelo raio da base do cone menor é uma redução proporcional do triângulo do cone original, com o mesmo ângulo no vértice. Isso garante que todos os comprimentos lineares correspondentes (raio, altura, geratriz, diâmetro, perímetro da base) guardam a mesma razão $k$, e daí decorre que áreas variam com $k^{2}$ e volumes com $k^{3}$, pois área é produto de duas dimensões lineares e volume, de três. Uma consequência prática importante é a relação de volumes por diferença: o volume do tronco é $V_{\text{cone maior}} - V_{\text{cone menor}} = V(1-k^{3})$, enquanto a área lateral do tronco exige cuidado, pois não é a diferença simples das áreas laterais — é preciso usar a geratriz do tronco, $g_t = g(1-k)$, e a fórmula $\pi(r+R)g_t$.

Como exemplo, tome um cone de raio $R=6$ cm e altura $H=9$ cm cortado a $h_1=3$ cm do vértice: então $k=3/9=1/3$, o raio menor é $r=2$ cm e o tronco resultante tem volume $V=\frac{\pi \cdot 36 \cdot 9}{3}(1-\frac{1}{27})=108\pi \cdot \frac{26}{27}=104\pi$ cm³, com área lateral $\pi(2+6)\cdot g(1-\frac{1}{3})$.

O tronco de cone surge quando cortamos um cone circular reto por um plano paralelo à base, descartando a parte superior; o sólido restante tem duas bases circulares paralelas de raios $R$ (maior) e $r$ (menor), separadas pela altura $h$. A chave conceitual é enxergá-lo como um cone maior "menos" um cone menor semelhante, ambos com o mesmo vértice virtual acima. Essa semelhança garante que a razão entre raios e alturas se conserve, o que permite achar a altura do cone original e, se preciso, a distância do vértice ao tronco. A área total soma as duas bases e a lateral: $A_{total}=\pi R^{2}+\pi r^{2}+\pi g(R+r)$, lembrando que a geratriz inclinada satisfaz Pitágoras no trapézio axial formado pela seção meridiana.

Exemplo concreto: um copo cônico truncado com $R=6\,\text{cm}$, $r=3\,\text{cm}$ e $h=4\,\text{cm}$ tem $g=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$, logo $V=\frac{\pi\cdot4}{3}(36+18+9)=84\pi\,\text{cm}^{3}$ e área lateral $\pi\cdot5\cdot9=45\pi\,\text{cm}^{2}$.

O tronco de pirâmide surge quando cortamos uma pirâmide por um plano paralelo à base e descartamos a parte que contém o vértice; o sólido remanescente tem duas bases paralelas e semelhantes (uma maior, uma menor) e faces laterais que são trapézios. A chave para resolver questões desse tema é perceber a semelhança entre a pirâmide original e a pirâmide menor removida: a razão de semelhança $k$ entre elas aparece elevada ao quadrado nas áreas e ao cubo nos volumes. Isso permite, por exemplo, achar a altura do tronco conhecendo as bases: se os lados das bases medem $a$ e $b$, então $\frac{h_{\text{pequena}}}{h_{\text{total}}}=\frac{b}{a}$, e a altura do tronco é a diferença entre essas alturas.

Nas pirâmides regulares, o apótema do tronco é a altura de cada face trapezoidal, obtida por Pitágoras entre a altura do tronco e a diferença dos apótemas das bases. Exemplo concreto: uma pirâmide regular de base quadrada com aresta $6\,\text{cm}$ e altura $9\,\text{cm}$ é cortada a $3\,\text{cm}$ do vértice; a base menor tem lado $2\,\text{cm}$ (razão $\frac{1}{3}$), então $V=\frac{6}{3}(36+\sqrt{36\cdot4}+4)=2(36+12+4)=104\,\text{cm}^3$.