$A\times B=\{(a,b) \mid a\in A,\ b\in B\}$. A ordem importa: $(a,b)=(c,d)$ só se $a=c$ e $b=d$, logo $A\times B\neq B\times A$ em geral. Contagem: $n(A\times B)=n(A)\cdot n(B)$ — é o princípio multiplicativo aparecendo cedo.
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O produto cartesiano vai além de uma simples tabela de pares ordenados: ele é a operação que constrói relações e, portanto, está na base de toda a Análise Combinatória, da Geometria Analítica e da Probabilidade. Pense em $A=\{1,2\}$ e $B=\{x,y,z\}$; então $A\times B=\{(1,x),(1,y),(1,z),(2,x),(2,y),(2,z)\}$, um conjunto com 6 elementos.
Relação de A em B
Qualquer $R\subset A\times B$. Domínio são os primeiros elementos; imagem, os segundos. Um conjunto com $n(A)\cdot n(B)$ pares admite $2^{n(A)\cdot n(B)}$ relações distintas. Nem toda relação é função — um mesmo $x$ pode ter dois ou nenhum correspondente.
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Uma relação de $A$ em $B$ é, antes de tudo, um critério que associa elementos de dois conjuntos, e a definição formal de que $R\subset A\times B$ deixa claro que toda relação possível já está contida no produto cartesiano: ela é simplesmente um subconjunto escolhido entre todos os pares ordenados $(x,y)$ com $x\in A$ e $y\in B$.
O ponto central, que costuma escapar na correria, é que a relação não precisa de "regra" algébrica nem de regularidade — basta que se decida, par a par, quem participa. Por isso, quando $n(A)\cdot n(B)=m$, existem $2^{m}$ subconjuntos possíveis, pois cada um dos $m$ pares tem duas escolhas independentes: entra ou não entra.
Vale notar ainda que domínio e imagem são apenas os elementos efetivamente usados, de modo que ambos podem ser subconjuntos próprios de $A$ e $B$. Exemplo concreto: sejam $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{a,b\}$. O produto $A\times B$ tem seis pares, logo há $2^{6}=64$ relações distintas. Tomemos $R=\{(1,a),(2,b),(3,a)\}$: seu domínio é todo o $A$, sua imagem é $B$, e cada elemento de $A$ tem exatamente um correspondente — ou seja, essa relação em particular é uma função. Já $S=\{(1,a),(1,b)\}$ tem domínio $\{1\}$ e imagem $B$, mas não é função, pois o mesmo $x=1$ aparece com dois valores.
Função de A em B
$f:A\to B$ associa a cada $x\in A$ um único $y=f(x)$. Distinga contradomínio $B$ de imagem $\mathrm{Im}(f)\subset B$ — a Fuvest explora essa diferença em sobrejetividade. Graficamente: toda reta vertical corta a curva no máximo uma vez.
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A definição rigorosa de função exige atenção a três elementos: o domínio $A$, o contradomínio $B$ e a lei de associação $f$. Dizer que $f$ vai de $A$ em $B$ significa que o domínio é exatamente $A$ — não um subconjunto dele. Assim, se $f(x)=\sqrt{x-1}$ é dada com $A=\{0,1,2,3\}$, a função **não está bem definida em $A$**, pois $x=0$ não tem imagem real; o correto seria restringir o domínio a $\{1,2,3\}$. Esse é um erro clássico que a Fuvest penaliza: ela costuma apresentar leis com raízes, denominadores ou logaritmos e pedir o maior domínio possível em $\mathbb{R}$, separando quem confunde "expressão" com "função". Outro ponto sensível é a unicidade: uma relação que associa a um mesmo $x$ dois valores distintos não é função, o que aparece em questões com gráficos fechados (como uma circunferência) ou tabelas com valores repetidos.
Em resumo, domine a tríade domínio-contradomínio-imagem e a condição de unicidade; é a base para classificar funções e resolver questões de contagem e de existência de raízes.