Transformações trigonométricas

As fórmulas de adição e subtração de arcos são o coração da trigonometria no vestibular, pois permitem obter o seno, cosseno e tangente de ângulos que não estão na tabela dos notáveis a partir de arcos conhecidos. A ideia central é decompor um arco "estranho" numa soma ou diferença de ângulos como $30°$, $45°$ e $60°$, cujos valores já dominamos. Por exemplo, para calcular $\operatorname{sen}75°$, escrevemos $75°=45°+30°$ e aplicamos $\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\operatorname{sen}b\cos a$, obtendo $\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$. O mesmo raciocínio dá $\cos15°=\cos(45°-30°)=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ e $\operatorname{tg}15°=2-\sqrt3$ — valores que aparecem com frequência em questões de geometria e em problemas que pedem a medida exata de um segmento ou de uma área.

As fórmulas de arco duplo nascem, na verdade, de um caso particular das fórmulas de adição: basta fazer $b=a$ em $\operatorname{sen}(a+b)$ e $\cos(a+b)$ para obter as identidades do resumo. O ponto que costuma escapar ao aluno é que, das três expressões para $\cos 2a$, a escolha não é indiferente — a forma $\cos 2a=1-2\operatorname{sen}^{2}a$ é a que isola o seno, e a forma $\cos 2a=2\cos^{2}a-1$ é a que isola o cosseno. Isso é exatamente o que permite rebaixar o grau de uma expressão, isto é, trocar um quadrado de função trigonométrica por uma função de arco duplo na primeira potência. Assim, quando aparece $\operatorname{sen}^{2}x$ numa equação ou integral, você a substitui por $\frac{1-\cos 2x}{2}$ e o problema, antes quadrático, vira linear em cosseno; o mesmo vale para $\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$.

O nome "arco metade" vem de inverter essas relações: tomando $2a=\theta$, obtém-se $\operatorname{sen}\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$ e $\cos\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$, com o sinal decidido pelo quadrante em que vive $\frac{\theta}{2}$. Veja um exemplo concreto que fecha a ideia: calcular $\operatorname{sen}15^\circ$ sem decorar tabela. Como $15^\circ=\frac{30^\circ}{2}$, usamos $\operatorname{sen}^{2}15^\circ=\frac{1-\cos 30^\circ}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$. Como $15^\circ$ está no primeiro quadrante, o seno é positivo e $\operatorname{sen}15^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$.

Esse resultado, se você quiser, ainda se simplifica para $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ racionalizando o radicando duplo, mostrando como as fórmulas de arco duplo e metade dialogam com a álgebra de radicais.

Dominar essas identidades, portanto, não é decorar três fórmulas: é ter em mãos uma ferramenta para reduzir o grau, linearizar equações e calcular ângulos não notáveis a partir de ângulos conhecidos, e é justamente essa articulação entre escolha da forma e controle de sinal que as bancas premiam.

As fórmulas de prostaférese que você citou são apenas metade do arsenal: completam o quadro as transformações de diferença, $\operatorname{sen}p-\operatorname{sen}q=2\operatorname{sen}\frac{p-q}{2}\cos\frac{p+q}{2}$ e $\cos p-\cos q=-2\operatorname{sen}\frac{p+q}{2}\operatorname{sen}\frac{p-q}{2}$, sendo o sinal negativo desta última o erro clássico de prova. A ideia central é enxergar $p$ e $q$ como soma e diferença de duas novas variáveis, digamos $p=a+b$ e $q=a-b$; então $a=\frac{p+q}{2}$ e $b=\frac{p-q}{2}$, e a expressão original vira produto de seno e cosseno dessas médias — daí o nome prostaférese (do grego, "transformação para soma e subtração").

Note ainda que, escrevendo $p=a+b$ e $q=a-b$, a identidade $\operatorname{sen}(a+b)+\operatorname{sen}(a-b)=2\operatorname{sen}a\cos b$ decorre diretamente das fórmulas de adição, o que mostra que prostaférese e adição são duas faces da mesma moeda. Veja um exemplo concreto: resolver $\operatorname{sen}5x+\operatorname{sen}3x=0$. Aplicando a fórmula, $2\operatorname{sen}4x\cos x=0$, logo $\operatorname{sen}4x=0$ ou $\cos x=0$, dando $x=\frac{k\pi}{4}$ ou $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, com $k\in\mathbb{Z}$. As restrições de domínio importam: se a equação viesse de um contexto com $x$ em $(0,\pi)$, você filtraria as famílias de soluções para manter só as raízes nesse intervalo, descartando, por exemplo, $x=0$ e valores negativos.