Funções trigonométricas e funções inversas

A função seno, definida como $f(x)=\operatorname{sen}x$, é melhor compreendida quando ligada ao ciclo trigonométrico: cada arco $x$ percorrido sobre a circunferência unitária tem como seno a sua altura em relação ao eixo horizontal. Disso decorrem propriedades que o resumo já enunciou, mas vale explorar por que elas valem. A imagem $[-1,1]$ existe porque nenhuma altura num círculo de raio 1 ultrapassa esse intervalo, e o período $2\pi$ reflete a volta completa ao mesmo ponto. A paridade ímpar, $\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}x$, vem da simetria em relação ao eixo horizontal.

Dominar o ciclo, portanto, resolve tanto a parte algébrica quanto a geométrica dessas questões.

A função cosseno, definida como $f(x)=\cos x$, é melhor compreendida quando a associamos ao ciclo trigonométrico: para cada arco $x$, $\cos x$ é a abscissa do ponto correspondente na circunferência de raio unitário, enquanto $\operatorname{sen}x$ é a ordenada. Disso decorre a relação fundamental $\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1$, que impede o cosseno de assumir valores fora de $[-1,1]$, e a paridade $\cos(-x)=\cos x$, consequência de a abscissa não mudar quando percorremos o arco no sentido oposto. Outra propriedade importante é a periodicidade: $\cos(x+2\pi)=\cos x$, pois uma volta completa retorna ao mesmo ponto, mas o menor período positivo é $2\pi$.

O gráfico é uma onda contínua que oscila entre $-1$ e $1$, atinge o máximo $1$ em $x=2k\pi$ e o mínimo $-1$ em $x=\pi+2k\pi$, cruzando o eixo $x$ em $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, pontos em que a abscissa se anula. Vale ainda lembrar as fórmulas de adição, como $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b$, muito usadas para reduzir arcos. Como exemplo concreto, resolva $\cos x=\frac{1}{2}$: no intervalo $[0,2\pi]$, as soluções são $x=\frac{\pi}{3}$ e $x=\frac{5\pi}{3}$; a solução geral é $x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$, o que mostra o papel da simetria em relação ao eixo $y$ e da periodicidade.

A tangente nasce geometricamente como o comprimento do segmento vertical traçado do ponto $(1,0)$ até a reta que passa pela origem e pelo ponto do ciclo trigonométrico correspondente ao arco $x$ — daí o nome "reta tangente" —, e é justamente essa construção que revela por que a função explode perto de $\frac{\pi}{2}$: quando o arco se aproxima desse valor, a reta que o liga à origem tende a ficar paralela ao eixo vertical, nunca o cruzando, de modo que o ponto de encontro com a reta $x=1$ "foge para o infinito", produzindo as assíntotas. Como esse mesmo comportamento se repete a cada meia volta, o gráfico é uma sucessão de ramos idênticos deslocados de $\pi$.

Toda função trigonométrica generalizada nasce de uma transformação da onda básica $y=\operatorname{sen}x$ ou $y=\cos x$, e entender essa construção é mais importante que decorar parâmetros: ao escrever $f(x)=a+b\operatorname{sen}(cx+d)$, aplicamos, na ordem, uma dilatação/compressão horizontal pelo fator $\frac{1}{c}$, uma translação horizontal, uma dilatação vertical por $b$ e, por fim, uma translação vertical $a$, de modo que cada número carrega um papel geométrico distinto. O ponto mais delicado é a fase: o termo $d$ só é o deslocamento real da onda quando $c=1$; em geral o deslocamento horizontal vale $-\frac{d}{c}$, e é por isso que a forma $f(x)=a+b\operatorname{sen}\!\big(c(x-x_0)\big)$ costuma ser preferida, pois exibe diretamente o deslocamento $x_0$.

O mesmo raciocínio vale para cosseno e tangente, mudando apenas período e assíntotas, e para funções do tipo $a+b\cos^2(cx)$ ou $a+b|\operatorname{sen}(cx)|$, cujo período cai à metade do original. Como exemplo concreto, considere a altura da água num porto modelada por $h(t)=3+2{,}5\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, com $t$ em horas: a amplitude $2{,}5$ m indica que a maré sobe e desce $2{,}5$ m em torno do nível médio $3$ m, a imagem é $[0{,}5;\,5{,}5]$ e o período é $\frac{2\pi}{\pi/6}=12$ h, típico de maré semidiurna — a água atinge o máximo quando $\frac{\pi}{6}t=\frac{\pi}{2}$, isto é, $t=3$ h, e o mínimo em $t=9$ h.

Para construir as inversas, restringimos cada função trigonométrica a um intervalo onde ela é estritamente monótona e, portanto, bijetora: para o seno, usamos $[-\pi/2,\ \pi/2]$, cuja imagem é $[-1,1]$, o que define $\arcsin$ com domínio $[-1,1]$ e contradomínio $[-\pi/2,\ \pi/2]$; para o cosseno, $[0,\pi]$, origem de $\arccos$ com domínio $[-1,1]$ e imagem $[0,\pi]$; e para a tangente, $(-\pi/2,\ \pi/2)$, dando $\arctan$ com domínio $\mathbb{R}$ e imagem $(-\pi/2,\ \pi/2)$. Note a assimetria: $\arcsin$ e $\arccos$ só aceitam entradas em $[-1,1]$, enquanto $\arctan$ aceita qualquer real — ponto que as bancas exploram ao cobrar domínio. A inversão de composições é sutil: $\operatorname{sen}(\arcsin x)=x$ vale para todo $x\in[-1,1]$, mas $\arcsin(\operatorname{sen}x)=x$ só quando $x\in[-\pi/2,\ \pi/2]$, pois o arco devolvido precisa estar no intervalo principal.

Exemplo concreto: $\arcsin(\operatorname{sen}(5\pi/6))$. Como $5\pi/6>\pi/2$, a resposta não é $5\pi/6$; usamos $\operatorname{sen}(5\pi/6)=1/2$ e obtemos $\arcsin(1/2)=\pi/6$, o arco do intervalo principal com mesmo seno. Nos vestibulares, o tema aparece em equações como $\arcsin x=\arccos x$, em que se aplica seno a ambos os lados, gerando $x=\sqrt{1-x^2}$ e $x=\sqrt{2}/2$, com verificação do intervalo; em gráficos de $f(x)=\arctan x$, destacando limites assintóticos $\pm\pi/2$; e em questões de composição que exigem filtrar valores fora do domínio principal. Além disso, derivadas e integrais de funções inversas aparecem em provas mais avançadas, como ITA e Unicamp, exigindo reconhecer que $(\arcsin x)'=1/\sqrt{1-x^2}$ e $(\arctan x)'=1/(1+x^2)$, sempre atentando ao domínio de validade.